Szukam rozwiazania - o podzielnikach

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Szukam rozwiazania - o podzielnikach

Post autor: Brombal »

Próbuję ugryźć taki problem:
Jeźeli \(\displaystyle{ a, b \in N}\) oraz \(\displaystyle{ a>b}\) oraz \(\displaystyle{ NWD \left( a,b,\left( a-b\right)\right) =1}\) to
\(\displaystyle{ NWD \left( a ^{2} +b ^{2} +ab\right,\left( a-b\right) ) =1}\)

Jakieś sugestie?
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Szukam rozwiazania - o podzielnikach

Post autor: bakala12 »

Teza jest nieprawdziwa. Kontrprzykład \(\displaystyle{ a=8}\) i \(\displaystyle{ b=5}\). Wówczas to NWD o które pytamy wynosi \(\displaystyle{ 3}\). Pokażę więc że możliwe wartości tego NWD to \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\).
Wykazujemy, że:
\(\displaystyle{ NWD\left( a,b\right)=1}\)
Zakładamy, że \(\displaystyle{ NWD\left( a^{2}+ab+B^{2}, a-b\right)=d}\), gdzie \(\displaystyle{ d>1}\).
Wykazujemy, że \(\displaystyle{ NWD\left( d,2\right)=1}\) oraz \(\displaystyle{ NWD\left( d,b\right)=1}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ d|a^{2}+ab+b^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ d|a-b}\) więc \(\displaystyle{ d|a^{2}+ab+b^{2} - \left( a-b\right)\left( a+b\right)}\). Stąd \(\displaystyle{ d|b\left( a+2b\right)}\) a skoro \(\displaystyle{ NWD\left( d,b\right)=1}\) to \(\displaystyle{ d|a+2b}\). Stąd natychmiast \(\displaystyle{ d|3b}\), czyli \(\displaystyle{ d \in \left\{ 1,3\right\}}\)
Obie te wartości są przyjmowane, wystarczy wziąć np. \(\displaystyle{ a=7}\) i \(\displaystyle{ b=5}\), wtedy \(\displaystyle{ d=1}\) lub \(\displaystyle{ a=8}\) i \(\displaystyle{ b=5}\), wtedy \(\displaystyle{ d=3}\).
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Szukam rozwiazania - o podzielnikach

Post autor: Brombal »

Dzięki Mateusz
Przyznam się, że nie skumałem tego przejścia:
\(\displaystyle{ d|a^{2}+ab+b^{2} - \left( a-b\right)\left( a+b\right)}\)
Ale jeszcze powalczę ...
A co sądzisz o tezie dla a i b nieparzystych?

Pozdrawiam
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Szukam rozwiazania - o podzielnikach

Post autor: bakala12 »

To proste:
\(\displaystyle{ d|a^{2}+ab+b^{2} \wedge d|a-b \Rightarrow d|a^{2}+ab+b^{2}-\left( a-b\right)\left( a+b\right)}\)
Twoja teza dla \(\displaystyle{ a,b}\) nieparzystych nadal nie jest poprawna. Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a=7,b=1}\) i wówczas \(\displaystyle{ d=3}\).

//Poprawiłem literówkę
ODPOWIEDZ