Diofantos, piątka, kwadrat

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ x, y \in Z}\) \(\displaystyle{ 5xy-1 = (x+y)^2}\) ?

[arek1357]

Przekształćmy równanie na:

\(\displaystyle{ y^2-3xy+x^2+1=0}\)

lub:

\(\displaystyle{ \left( y- \frac{3x}{2}\right)^2 - \frac{5}{4}x^2=-1}\)

Widać, że \(\displaystyle{ x=2t}\)

podstawmy:

\(\displaystyle{ y-3t=u}\)

otrzymamy ostatecznie:

\(\displaystyle{ u^2-5t^2=-1}\)

i z Diofanta mamy Pella!

minimalne rozwiązanie:

\(\displaystyle{ u_{0}=2, t_{0}=1}\)

ciąg charakterystyczny dla ułamka łańcuchowego:

\(\displaystyle{ \sqrt{5}: [2, \overline{4}]}\)

wzór na reduktory:

\(\displaystyle{ u_{2n}=4u_{2n-1}+u_{2n-2}}\)

\(\displaystyle{ t_{2n}=4t_{2n-1}+t_{2n-2}}\)

Rozwiązaniami będą tylko ciągi o wyrazach parzystych.

na ten przykład:

\(\displaystyle{ u_{0}=2, t_{0}=1}\)

\(\displaystyle{ u_{2}=38, t_{2}=17}\)

itd...

podstawiając:

\(\displaystyle{ x_{2n}=2t_{2n}}\)

\(\displaystyle{ y_{2n}=3t_{2n}+u_{2n}}\)

Czyli rozwiązanie.

[lolks123]

Widać, że \(\displaystyle{ x=2t}\).

Co to za blefy, a co z np \(\displaystyle{ x = y = 1}\)? Na przyszłość przeczytaj parę razy to co piszesz bo większość Twoich rozważań kończy się tak samo... Co do tematu to odpowiedzią są pary \(\displaystyle{ (F_{2k-1}, F_{2k+1}), (F_{2k+1}, F_{2k-1}), (-F_{2k-1}, -F_{2k+1}), (-F_{2k+1}, -F_{2k-1}), (1, 1), (-1, -1)}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\) a \(\displaystyle{ F_n}\) to n'ta liczba Fibonacciego

[arek1357]

Sorki poszedłem w kierunku Pellego niepotrzebnie choć i tak moje rozwiązania zawierają się w ogólnych!
Ale fakt moja wina!

I nie blefy tylko blef jeśli już to jeden:

\(\displaystyle{ x=2t}\)

Przy założeniu prawdziwości tego blefu reszta rozumowania poprawna.