Podzbiór i sumy
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Podzbiór i sumy
Niech \(\displaystyle{ A \subset N}\) zaś \(\displaystyle{ A(x) = \# \{ n \leq x : n \in A \}}\). Udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ x \geq 1}\) to \(\displaystyle{ \sum_{n \leq x, n \in A} \frac{1}{n} = \sum_{n \leq x} \frac{A(n)}{n(n+1)} + \frac{A(x)}{ \lfloor x \rfloor + 1}}\)
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Podzbiór i sumy
Jeżeli zatomizujemy zbiór A wyjdzie ładnie.
To atomizujmy rozłóżmy zbiór A na spójne podzbiory:
\(\displaystyle{ A=A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{r}}\)
różnica między kolejnymi elementami w podzbiorach \(\displaystyle{ A_{i}}\) wynosi jeden!
Między podzbiorami są tak zwane przerwy.
Można przyjąć, że \(\displaystyle{ x \ge \max A}\)
ponieważ jeśli założymy, że \(\displaystyle{ x< \max A}\), wtedy przyjmiemy za\(\displaystyle{ A'}\)
wszystkie elementy zbioru A mniejsze lub równe od \(\displaystyle{ x}\) i zadanie sprowadzi się do \(\displaystyle{ A'}\)
więc przyjmujemy, że:
\(\displaystyle{ x \ge \max A}\)
niech teraz:
\(\displaystyle{ B_{i}}\) - to przerwy między zbiorami spójnymi \(\displaystyle{ A_{i}, A_{i+1}}\)
elementy\(\displaystyle{ B_{i}}\) nie należą do \(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ A_{1}=\left\{ s_{1},s_{1}+1,...,s_{1}+k_{1}\right\} , |A_{1}|=k_{1}+1}\)
\(\displaystyle{ B_{1}=\left\{ s_{1}+k_{1}+1, s_{1}+k_{1}+2...,s_{1}+k_{1}+l_{1}\right\} , |B_{1}|=k_{1}+l_{1}}\)
\(\displaystyle{ A_{2}=\left\{ s_{2},s_{2}+1,...,s_{2}+k_{2}\right\} , |A_{2}|=k_{2}+1}\)
\(\displaystyle{ B_{2}=\left\{ s_{2}+k_{2}+1, s_{2}+k_{2}+2...,s_{2}+k_{2}+l_{2}\right\} , |B_{2}|=k_{2}+l_{2}}\)
....................................................................................................................
\(\displaystyle{ A_{r}=\left\{ s_{r},s_{r}+1,...,s_{r}+k_{r}\right\} , |A_{r}|=k_{r}+1}\)
\(\displaystyle{ B_{r}=\left\{ s_{r}+k_{r}+1, s_{r}+k_{r}+2...,s_{r}+k_{r}+l_{r}=a\right\} , |B_{2}|=k_{r}+l_{r}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a=[x]}\)
obliczmy teraz:
\(\displaystyle{ \sum_{n \le a}^{} \frac{A(n)}{n(n+1)}= \sum_{n \in A_{1}}^{}\frac{A(n)}{n(n+1)}+ \sum_{n \in B_{1}}^{}\frac{A(n)}{n(n+1)}+...+ \sum_{n \in A_{r}}^{}\frac{A(n)}{n(n+1)} + \sum_{n \in B_{r}}^{}\frac{A(n)}{n(n+1)}=}\)
= \(\displaystyle{ \frac{A(s_{1})}{s_{1}(s_{1}+1)} + \frac{A(s_{1}+1)}{(s_{1}+1)(s_{1}+2)}+...+ \frac{A(s_{1}+k_{1})}{(s_{1}+k_{1})(s_{1}+k_{1}+1)} +}\)
\(\displaystyle{ \frac{A(s_{1}+k_{1}+1)}{(s_{1}+k_{1}+1)(s_{1}+k_{1}+2)} +...+\frac{A(s_{1}+k_{1}+l_{1})}{(s_{1}+k_{1}+l_{1})s_{2}} +...}\)
.........................................................................................................
\(\displaystyle{ \frac{A(s_{r})}{s_{r}(s_{r}+1)} + \frac{A(s_{r}+1)}{(s_{r}+1)(s_{r}+2)}+...+ \frac{A(s_{1}+k_{r})}{(s_{r}+k_{r})(s_{r}+k_{r}+1)} +}\)
\(\displaystyle{ \frac{A(s_{r}+k_{r}+1)}{(s_{r}+k_{r}+1)(s_{r}+k_{r}+2)} +...+\frac{A(s_{r}+k_{r}+l_{r})}{(s_{r}+k_{r}+l_{r})(s_{r}+k_{r}+l_{r}+1)} +...}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ s_{r}+k_{r}+l_{r}=a}\)
orajmy dalej=
to wyżej równa się:
\(\displaystyle{ \frac{1}{s_{1}(s_{1}+1)} +\frac{2}{(s_{1}+1)(s_{1}+2)}+...+\frac{k_{1}+1}{(s_{1}+k_{1})(s_{1}+k_{1}+1)} +}\)
\(\displaystyle{ (k_{1}+1)\left[ \frac{1}{(s_{1}+k_{1}+1)(s_{1}+k_{1}+2)}+...+\frac{1}{(s_{1}+k_{1}+l_{1})(s_{1}+k_{1}+l_{2}+1)} \right]+}\), \(\displaystyle{ k_{1}+l_{2}+1=s_{2}}\)
................................................................................................................
\(\displaystyle{ \frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r-1}+1}{s_{r}(s_{r}+1)} +\frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r-1}+2}{(s_{r}+1)(s_{r}+2)}+...+\frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{(s_{r}+k_{r})(s_{r}+k_{r}+1)} +}\)
\(\displaystyle{ (k_{1}+k_{2}+...+k_{r})\left[ \frac{1}{(s_{r}+k_{r}+1)(s_{r}+k_{r}+2)}+...+\frac{1}{(s_{r}+k_{r}+l_{r})(s_{r}+k_{r}+l_{r}+1)} \right]=}\), \(\displaystyle{ s_{r}+k_{r}+l_{r}=a}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{s_{1}}+ \frac{1}{s_{1}+1}+ \frac{1}{s_{1}+2}+ ...+ \frac{1}{s_{1}+k_{1}}-}\)
\(\displaystyle{ \frac{k_{1}+1}{s_{1}+k_{1}+1} + \frac{k_{1}+1}{s_{1}+k_{1}+1}- \frac{k_{1}+1}{s_{2}}+ \frac{k_{1}+1}{s_{2}}+ \frac{k_{1}+2}{s_{2}+2}+.....+}\)
\(\displaystyle{ + \frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r-1}+1}{s_{r}}+ \frac{1}{s_{r}+1}+ \frac{1}{s_{r}+2}+...+
\frac{1}{s_{r}+k_{r}}- \frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{s_{r}+k_{r}+1} +\frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{s_{r}+k_{r}} -\frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{s_{r}+k_{r}+l_{r}+1}=}\) , \(\displaystyle{ s_{r}+k_{r}+l_{r}=a}\)
Jak widać to się ładnie wreszcie skraca i sprowadza do:
\(\displaystyle{ H_{A_{i}}= \frac{1}{s_{i}}+ \frac{1}{s_{i}+1}+ \frac{1}{s_{i}+2}+...+\frac{1}{s_{i}+k_{i}}}\)
\(\displaystyle{ H_{A_{1}}+ H_{A_{2}}+...+ H_{A_{r}}-\frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{s_{r}+k_{r}+l_{r}+1}=}\)
\(\displaystyle{ H_{A_{1}}+ H_{A_{2}}+...+ H_{A_{r}}-\frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{a+1}=}\)
ale:
\(\displaystyle{ H_{A_{1}}+ H_{A_{2}}+...+ H_{A_{r}}= \sum_{n \le x,n \in A}^{} \frac{1}{n}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{a+1}= \frac{A(x)}{[x]+1}}\)
Co raczej by kończyło równość.
To atomizujmy rozłóżmy zbiór A na spójne podzbiory:
\(\displaystyle{ A=A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{r}}\)
różnica między kolejnymi elementami w podzbiorach \(\displaystyle{ A_{i}}\) wynosi jeden!
Między podzbiorami są tak zwane przerwy.
Można przyjąć, że \(\displaystyle{ x \ge \max A}\)
ponieważ jeśli założymy, że \(\displaystyle{ x< \max A}\), wtedy przyjmiemy za\(\displaystyle{ A'}\)
wszystkie elementy zbioru A mniejsze lub równe od \(\displaystyle{ x}\) i zadanie sprowadzi się do \(\displaystyle{ A'}\)
więc przyjmujemy, że:
\(\displaystyle{ x \ge \max A}\)
niech teraz:
\(\displaystyle{ B_{i}}\) - to przerwy między zbiorami spójnymi \(\displaystyle{ A_{i}, A_{i+1}}\)
elementy\(\displaystyle{ B_{i}}\) nie należą do \(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ A_{1}=\left\{ s_{1},s_{1}+1,...,s_{1}+k_{1}\right\} , |A_{1}|=k_{1}+1}\)
\(\displaystyle{ B_{1}=\left\{ s_{1}+k_{1}+1, s_{1}+k_{1}+2...,s_{1}+k_{1}+l_{1}\right\} , |B_{1}|=k_{1}+l_{1}}\)
\(\displaystyle{ A_{2}=\left\{ s_{2},s_{2}+1,...,s_{2}+k_{2}\right\} , |A_{2}|=k_{2}+1}\)
\(\displaystyle{ B_{2}=\left\{ s_{2}+k_{2}+1, s_{2}+k_{2}+2...,s_{2}+k_{2}+l_{2}\right\} , |B_{2}|=k_{2}+l_{2}}\)
....................................................................................................................
\(\displaystyle{ A_{r}=\left\{ s_{r},s_{r}+1,...,s_{r}+k_{r}\right\} , |A_{r}|=k_{r}+1}\)
\(\displaystyle{ B_{r}=\left\{ s_{r}+k_{r}+1, s_{r}+k_{r}+2...,s_{r}+k_{r}+l_{r}=a\right\} , |B_{2}|=k_{r}+l_{r}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a=[x]}\)
obliczmy teraz:
\(\displaystyle{ \sum_{n \le a}^{} \frac{A(n)}{n(n+1)}= \sum_{n \in A_{1}}^{}\frac{A(n)}{n(n+1)}+ \sum_{n \in B_{1}}^{}\frac{A(n)}{n(n+1)}+...+ \sum_{n \in A_{r}}^{}\frac{A(n)}{n(n+1)} + \sum_{n \in B_{r}}^{}\frac{A(n)}{n(n+1)}=}\)
= \(\displaystyle{ \frac{A(s_{1})}{s_{1}(s_{1}+1)} + \frac{A(s_{1}+1)}{(s_{1}+1)(s_{1}+2)}+...+ \frac{A(s_{1}+k_{1})}{(s_{1}+k_{1})(s_{1}+k_{1}+1)} +}\)
\(\displaystyle{ \frac{A(s_{1}+k_{1}+1)}{(s_{1}+k_{1}+1)(s_{1}+k_{1}+2)} +...+\frac{A(s_{1}+k_{1}+l_{1})}{(s_{1}+k_{1}+l_{1})s_{2}} +...}\)
.........................................................................................................
\(\displaystyle{ \frac{A(s_{r})}{s_{r}(s_{r}+1)} + \frac{A(s_{r}+1)}{(s_{r}+1)(s_{r}+2)}+...+ \frac{A(s_{1}+k_{r})}{(s_{r}+k_{r})(s_{r}+k_{r}+1)} +}\)
\(\displaystyle{ \frac{A(s_{r}+k_{r}+1)}{(s_{r}+k_{r}+1)(s_{r}+k_{r}+2)} +...+\frac{A(s_{r}+k_{r}+l_{r})}{(s_{r}+k_{r}+l_{r})(s_{r}+k_{r}+l_{r}+1)} +...}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ s_{r}+k_{r}+l_{r}=a}\)
orajmy dalej=
to wyżej równa się:
\(\displaystyle{ \frac{1}{s_{1}(s_{1}+1)} +\frac{2}{(s_{1}+1)(s_{1}+2)}+...+\frac{k_{1}+1}{(s_{1}+k_{1})(s_{1}+k_{1}+1)} +}\)
\(\displaystyle{ (k_{1}+1)\left[ \frac{1}{(s_{1}+k_{1}+1)(s_{1}+k_{1}+2)}+...+\frac{1}{(s_{1}+k_{1}+l_{1})(s_{1}+k_{1}+l_{2}+1)} \right]+}\), \(\displaystyle{ k_{1}+l_{2}+1=s_{2}}\)
................................................................................................................
\(\displaystyle{ \frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r-1}+1}{s_{r}(s_{r}+1)} +\frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r-1}+2}{(s_{r}+1)(s_{r}+2)}+...+\frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{(s_{r}+k_{r})(s_{r}+k_{r}+1)} +}\)
\(\displaystyle{ (k_{1}+k_{2}+...+k_{r})\left[ \frac{1}{(s_{r}+k_{r}+1)(s_{r}+k_{r}+2)}+...+\frac{1}{(s_{r}+k_{r}+l_{r})(s_{r}+k_{r}+l_{r}+1)} \right]=}\), \(\displaystyle{ s_{r}+k_{r}+l_{r}=a}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{s_{1}}+ \frac{1}{s_{1}+1}+ \frac{1}{s_{1}+2}+ ...+ \frac{1}{s_{1}+k_{1}}-}\)
\(\displaystyle{ \frac{k_{1}+1}{s_{1}+k_{1}+1} + \frac{k_{1}+1}{s_{1}+k_{1}+1}- \frac{k_{1}+1}{s_{2}}+ \frac{k_{1}+1}{s_{2}}+ \frac{k_{1}+2}{s_{2}+2}+.....+}\)
\(\displaystyle{ + \frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r-1}+1}{s_{r}}+ \frac{1}{s_{r}+1}+ \frac{1}{s_{r}+2}+...+
\frac{1}{s_{r}+k_{r}}- \frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{s_{r}+k_{r}+1} +\frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{s_{r}+k_{r}} -\frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{s_{r}+k_{r}+l_{r}+1}=}\) , \(\displaystyle{ s_{r}+k_{r}+l_{r}=a}\)
Jak widać to się ładnie wreszcie skraca i sprowadza do:
\(\displaystyle{ H_{A_{i}}= \frac{1}{s_{i}}+ \frac{1}{s_{i}+1}+ \frac{1}{s_{i}+2}+...+\frac{1}{s_{i}+k_{i}}}\)
\(\displaystyle{ H_{A_{1}}+ H_{A_{2}}+...+ H_{A_{r}}-\frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{s_{r}+k_{r}+l_{r}+1}=}\)
\(\displaystyle{ H_{A_{1}}+ H_{A_{2}}+...+ H_{A_{r}}-\frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{a+1}=}\)
ale:
\(\displaystyle{ H_{A_{1}}+ H_{A_{2}}+...+ H_{A_{r}}= \sum_{n \le x,n \in A}^{} \frac{1}{n}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{r}}{a+1}= \frac{A(x)}{[x]+1}}\)
Co raczej by kończyło równość.