Dowód z wykorzystaniem tw. Wilsona

[Poszukujaca]

Niech \(\displaystyle{ p=4n+1 \in \PP}\). Pokazać, że istnieje takie \(\displaystyle{ x \in \NN}\), że \(\displaystyle{ p | (x^{2}+1)}\).

Wiem, że trzeba zastosować twierdzenie Wilsona. Na podstawie niego wiem, że: \(\displaystyle{ (4n+1-1)! \equiv_{p} -1 \Leftrightarrow (4n)! \equiv_{p} -1}\).

Tylko nie wiem, jak połączyć to z dalsżą treścią zadania.

[arek1357]

\(\displaystyle{ ( \frac{p-1}{p})=( \frac{-1}{p})=(-1)^{ \frac{p-1}{2} }=(-1)^{ \frac{4n}{2} }=(-1)^{2n}=1}\)

czyli\(\displaystyle{ p-1}\) jest resztą kwadratową modulo p cnd.

[Poszukujaca]

Możesz wyjaśnić skąd się wzięło \(\displaystyle{ \frac{p-1}{p}}\). Nie rozumiem.

[arek1357]

To są reszty kwadratowe zapisuje się je:

\(\displaystyle{ \left( \frac{p-1}{p}\right)}\) ,gdzie: \(\displaystyle{ p-1=-1}\)

ja to zadanie zrobiłem za pomocą reszt kwadratowych czasem pożyteczne narzędzie polecam.

te nawiasy są ważne.

co innego jest:

\(\displaystyle{ \frac{p-1}{p}}\)

a co innego jest:

\(\displaystyle{ \left( \frac{p-1}{p}\right)}\)