Cztery sumy kwadratów

[mol_ksiazkowy]

Czy istnieją \(\displaystyle{ x, a, b, c, d \in Z}\) takie, że: \(\displaystyle{ x^2+ a^2 = (x+1)^2+ b^2 = (x+2)^2+ c^2 =(x+3)^2+ d^2}\) ?

[arek1357]

Wyszła mi sprzeczność ale może się pomyliłem bo liczyłem na szybko!


Przepraszam ale poprawiłem, po uporządkowaniu i skróceniu otrzymamy układ trzech równań:

(*)\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a^2-b^2=2x+1\\b^2-c^2-2=2x+1\\c^2-d^2-4=2x+1 \end{array}}\)


Wyliczam teraz z tego:

\(\displaystyle{ c^2=2b^2-a^2-2}\)

\(\displaystyle{ d^2=3b^2-2a^2-6}\)

podstawiając do (*) otrzymamy trzy równoważne równania, które zapiszę pojedynczo:

\(\displaystyle{ a^2-b^2=2x+1}\)

równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, ważne tylko, żeby\(\displaystyle{ a i b}\) były

parzyste i nieparzyste albo odwrotnie.

[AndrzejK]

\(\displaystyle{ a^2-b^2=2x+1}\)

równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, ważne tylko, żeby\(\displaystyle{ a i b}\) były

parzyste i nieparzyste albo odwrotnie.

Zgadza się, ale później musisz z tym wrócić do \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\), a one już przy otrzymanych \(\displaystyle{ a,b}\) wcale nie muszą być całkowite. Na przykład dla \(\displaystyle{ x=1}\) mamy \(\displaystyle{ a=2,b=1}\), ale wtedy z pierwszego równania dostajemy \(\displaystyle{ c^2=-4}\).

[arek1357]

No tak wtedy dostajemy:

\(\displaystyle{ b^2=a^2-2x-1}\)

\(\displaystyle{ c^2=a^2-4x-4}\)

\(\displaystyle{ d^2=a^2-6x-9}\)


Może być sporo rozwiązań

[AndrzejK]

Dla \(\displaystyle{ x=1,x=2}\) łatwo udowodnić brak rozwiązań, dla większych nie liczyłem.