Cztery sumy kwadratów
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11367
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Cztery sumy kwadratów
Czy istnieją \(\displaystyle{ x, a, b, c, d \in Z}\) takie, że: \(\displaystyle{ x^2+ a^2 = (x+1)^2+ b^2 = (x+2)^2+ c^2 =(x+3)^2+ d^2}\) ?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5740
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 525 razy
Cztery sumy kwadratów
Wyszła mi sprzeczność ale może się pomyliłem bo liczyłem na szybko!
Przepraszam ale poprawiłem, po uporządkowaniu i skróceniu otrzymamy układ trzech równań:
(*)\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a^2-b^2=2x+1\\b^2-c^2-2=2x+1\\c^2-d^2-4=2x+1 \end{array}}\)
Wyliczam teraz z tego:
\(\displaystyle{ c^2=2b^2-a^2-2}\)
\(\displaystyle{ d^2=3b^2-2a^2-6}\)
podstawiając do (*) otrzymamy trzy równoważne równania, które zapiszę pojedynczo:
\(\displaystyle{ a^2-b^2=2x+1}\)
równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, ważne tylko, żeby\(\displaystyle{ a i b}\) były
parzyste i nieparzyste albo odwrotnie.
Przepraszam ale poprawiłem, po uporządkowaniu i skróceniu otrzymamy układ trzech równań:
(*)\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a^2-b^2=2x+1\\b^2-c^2-2=2x+1\\c^2-d^2-4=2x+1 \end{array}}\)
Wyliczam teraz z tego:
\(\displaystyle{ c^2=2b^2-a^2-2}\)
\(\displaystyle{ d^2=3b^2-2a^2-6}\)
podstawiając do (*) otrzymamy trzy równoważne równania, które zapiszę pojedynczo:
\(\displaystyle{ a^2-b^2=2x+1}\)
równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, ważne tylko, żeby\(\displaystyle{ a i b}\) były
parzyste i nieparzyste albo odwrotnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 974
- Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 102 razy
Cztery sumy kwadratów
Zgadza się, ale później musisz z tym wrócić do \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\), a one już przy otrzymanych \(\displaystyle{ a,b}\) wcale nie muszą być całkowite. Na przykład dla \(\displaystyle{ x=1}\) mamy \(\displaystyle{ a=2,b=1}\), ale wtedy z pierwszego równania dostajemy \(\displaystyle{ c^2=-4}\).arek1357 pisze:\(\displaystyle{ a^2-b^2=2x+1}\)
równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, ważne tylko, żeby\(\displaystyle{ a i b}\) były
parzyste i nieparzyste albo odwrotnie.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5740
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 525 razy
Cztery sumy kwadratów
No tak wtedy dostajemy:
\(\displaystyle{ b^2=a^2-2x-1}\)
\(\displaystyle{ c^2=a^2-4x-4}\)
\(\displaystyle{ d^2=a^2-6x-9}\)
Może być sporo rozwiązań
\(\displaystyle{ b^2=a^2-2x-1}\)
\(\displaystyle{ c^2=a^2-4x-4}\)
\(\displaystyle{ d^2=a^2-6x-9}\)
Może być sporo rozwiązań