Suma a iloczyn

[mol_ksiazkowy]

Czy istnieją rozwiązania równania \(\displaystyle{ a_1^2 + .... +a_n^2 = a_1^2....a_{n-1}^2}\) w zbiorze \(\displaystyle{ N}\) ?
A jeśli istnieja to jakie ?

[a4karo]

Z prawej strony celowo pominąłeś \(\displaystyle{ a_n}\)?-- 1 sty 2016, o 12:56 --Wsk. dla \(\displaystyle{ n\geq 3}\)przy ustalonym \(\displaystyle{ a_1}\) i \(\displaystyle{ a_2}\) lewą stronę można dowolnie zwiększać dodając jedynki.

[mol_ksiazkowy]

Z prawej strony celowo pominąłeś \(\displaystyle{ a_n}\) ?

oczywiście, np. takie równanie (gdy \(\displaystyle{ n=3}\)) tj. \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 = a^2b^2}\)
itd.

[Brombal]

Wygląda na to, ze dla wszystkich \(\displaystyle{ a _{i}}\) nieparzystych rozwiazań jest "skolko godna".
\(\displaystyle{ a _{n} ^{2} = \prod_{i=1}^{n-1} a _{i} - \sum_{i=1}^{n-1} a _{i}}\)

Jak zapewne wiadomo dla \(\displaystyle{ a _{i}}\) nieparzystego \(\displaystyle{ a _{i} ^{2}=8 \cdot k _{i} +1}\)

Po podstawieniu otrzymamy
\(\displaystyle{ a _{n} ^{2} =8 ^{ho ho} \cdot k_1 \cdot k_2... \cdot k _{n-1} +8 ^{ho ho-1} \cdot \left( k_1 \cdot k_2\right... \cdot k _{n-2}+kombinacje ) +8 ^{2} \cdot \left( kombinacje\right) +8}\).
A po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 8}\) zapisać mozna to w postaci \(\displaystyle{ 8 \cdot \left( kombinacje\ k _{i} \right) +1}\)
Co powinno sie dać zkwadracić - rozpisanie tego porządnie to duża umiejętność

-- 4 sty 2016, o 13:47 --

A jednak to co napisłaem to bzdura nie zostaje mi wolna \(\displaystyle{ 8}\) na końcu tylko wolna \(\displaystyle{ -6}\) co przez \(\displaystyle{ 8}\) sie nie dzieli .

[a4karo]

A poza tym nawet gdyby, to z faktu, że kwadraty sa postaci \(\displaystyle{ 8k+1}\) nie wynika, że każda liczba postaci \(\displaystyle{ 8k+1}\) jest kwadratem

[Brombal]

To mam nadzieję nie problem
Wystarczy \(\displaystyle{ k}\) przedstawić jako \(\displaystyle{ k= \frac{x \cdot \left( x+1\right) }{2}}\) to będzie w obie strony.
Tak na pierwszy rzut oka, to wygląda, że dla nieparzystych nie ma rozwiązań.

Pozdrawiam w nowym roku (aż piątego stopnia parzystości ). Takich dotychczas w naszej erze było 62.

[a4karo]

Jeszcze daleko do końca. Znalazłes jakieś. Pytanie, czy to sa wszystkie?

[Brombal]

Dla \(\displaystyle{ a _{i}}\) nieparzystych które można w sposób równoważny (każde nieparzyste \(\displaystyle{ a _{i} ^{2}}\) można tak przedstawić oraz każde \(\displaystyle{ x _{i}}\) wytwarza \(\displaystyle{ a _{i} ^{2}}\) ) przedstawić jako:
\(\displaystyle{ a _{i} ^{2} =4 \cdot x _{i} \cdot \left( x _{i}+ 1\right) +1}\)

po różnych rozwinięciach i takich tam
otrzymamy:
\(\displaystyle{ 4 \cdot x _{n} \cdot \left( x _{n}+ 1\right)=\left( "duzo-roznych-wyrazow-z-x _{i}- oraz -4 ^{2 ^{+} }" \right) -\left( n-1\right)}\)
Lewa strona równania jest stopnia parzystości co najmniej 3, wielgachny nawias po prawej jest co najmniej stopnia 5. Stąd \(\displaystyle{ \left( n-1\right)}\) (liczba wyrazów-1) musi być co najmniej stopnia 3, stąd n musi być nieparzyste (warunek konieczny).

-- 6 sty 2016, o 21:01 --

To dziwne ale skoro n - nieparzyste a n-1 jet co najmniej 3 stopnia to da się to zapisać tak
\(\displaystyle{ n=8 \cdot k+1}\)
Oznacza to, że \(\displaystyle{ n \ge 9}\) i czasami lubi być kwadratem liczby nieparzystej.

-- 6 sty 2016, o 21:12 --

No i musi przyjmować następujące wartości
9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 i tak dalej co 8

-- 7 sty 2016, o 11:54 --

Tak rozpatrując nieco inaczej (niestety nic konkretnego z tego nie wyjdzie).
Dla wszystkich nieparzystych liczba wyrazów n musi wynisić 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 ...

Załóżmy na momencik, że mamy rozwiązanie takiego równania.
Jezeli mamy, to co za sztuka pomnożyć obie strony przez jakąś liczbę w kwadracie. Otrzymamy wtedy nieskończenie wiele rozwiązań (zależnych od naszej fantazji w mnożeniu), warunkowanych istnieniem tego "pierwotnego" rozwiąznia. Wszystkie te rozwiązania możemy sobie wsadzić w buty, bo istotne jest istnienie tego "pierwotnego" rozwiaznia. Wniosek - rozwiąznie nie może posiadać wspólnego podzielnika wszystkich wyrazów.
Stąd szczególny przypadek - wszystkie nie mogą być parzyste.
Stąd co najmniej jeden wyraz jest nieparzysty.
Jednak patrząc na równanie - liczba nieparzystych wyrazów nie może być nieparzysta bo sie stopnie parzystości po obu stronach nie zgodzą .
Stąd liczba nieparzystych wyrazów musi być parzysta.
Do tego można zawęzić szukanie rozwiązań
1. Wszystkie wyrazy nieparzyste - a jest ich 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 ...
2. Jeżli nie wszystkie są nieparzyste - to nieparzystych jest parzysta ilość.

Gdyby szukać dla 3 i 4 wyrazów to liczba nieparzystych jest 2. dalej jest gorzej...

-- 7 sty 2016, o 12:22 --

A tak jeszcze dla 3 wyrazów (w tym 2 nieparzyste) (wszystkie nie moga być nieparzyste - od 9 wyrazów)
Patrząc na wzorek \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2} = a^{2} \cdot b^{2}}\)
a i b nie moga być nieparzyste ponieważ suma kwadratów byłaby pierwszego stopnia. Stąd c musi być nieparzyste.
Rozpatrując dalej - mamy c nieparzyste i np. a nieparzyste. Przerzucamy b - parzyste na drugą stronę i otrzymujemy \(\displaystyle{ a^{2}+c^{2} = b^{2} \cdot \left( a ^{2} -1\right)}\). Lewa strona jest pierwszego stopnia a prawa co najmniej 3.
Stąd nie ma rozwiązania dla 3 dowolnych wyrazów.
Dla 4 wyrazów tak samo .-- 7 sty 2016, o 13:21 --Idąc dalej
Jezeli będą dwa wyrazy nieparzyste (najmniejsza parzysta ilość). to można je pozostawic po jednej stronie równania i będziemy mieli pierwszy stopień parzystości po jednej stronie a po drugiej conajmniej drugi. Stąd wyrazów niparzystych musi być co najmniej 4.
Ale można pójśc nieco dalej bo gdy będzie 6 wyrażeń nieparzystych to dwa nam zostana w pierwszym stopniu i sytuacja sie powtarza.
Stąd liczba nieparzystych wyrazów musi byc co najmniej stopnia 2. (4, 8, 12, 16....itd)