Proszę o pomoc w dowodzie twierdzenia:
\(\displaystyle{ 10}\) jest pierwiastkiem pierwotnym modulo \(\displaystyle{ p \neq 2, 5}\) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg cyfr dziesiętnych liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{p}}\) jest ciągiem czysto-okresowym o okresie długości \(\displaystyle{ p-1.}\)
10 pierwiastkiem pierwotnym
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
10 pierwiastkiem pierwotnym
Skoro p nie jest podzielne przez dwa ani pięć z tw. Fermata mamy:
\(\displaystyle{ p|10^{p-1}-1}\)
inaczej:
\(\displaystyle{ 10^{p-1}-1=pk}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{p}= \frac{k}{10^{p-1}-1}=k \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{10^{(p-1)n}}}\)
wynika stąd, że okres czyli \(\displaystyle{ k}\) ma \(\displaystyle{ p-1}\) cyfr
\(\displaystyle{ p|10^{p-1}-1}\)
inaczej:
\(\displaystyle{ 10^{p-1}-1=pk}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{p}= \frac{k}{10^{p-1}-1}=k \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{10^{(p-1)n}}}\)
wynika stąd, że okres czyli \(\displaystyle{ k}\) ma \(\displaystyle{ p-1}\) cyfr