10 pierwiastkiem pierwotnym

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
meursault
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 17 lip 2015, o 18:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

10 pierwiastkiem pierwotnym

Post autor: meursault »

Proszę o pomoc w dowodzie twierdzenia:

\(\displaystyle{ 10}\) jest pierwiastkiem pierwotnym modulo \(\displaystyle{ p \neq 2, 5}\) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg cyfr dziesiętnych liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{p}}\) jest ciągiem czysto-okresowym o okresie długości \(\displaystyle{ p-1.}\)
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

10 pierwiastkiem pierwotnym

Post autor: arek1357 »

Skoro p nie jest podzielne przez dwa ani pięć z tw. Fermata mamy:

\(\displaystyle{ p|10^{p-1}-1}\)

inaczej:

\(\displaystyle{ 10^{p-1}-1=pk}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{p}= \frac{k}{10^{p-1}-1}=k \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{10^{(p-1)n}}}\)

wynika stąd, że okres czyli \(\displaystyle{ k}\) ma \(\displaystyle{ p-1}\) cyfr
ODPOWIEDZ