Udowodnić, że wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ x^2 - 5y^2 =1}\) w \(\displaystyle{ Z}\) są z:
\(\displaystyle{ \pm(9+4\sqrt{5})^n = x+ y \sqrt{5}}\)
gdy \(\displaystyle{ n= 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, …}\)
Jeszcze raz Pell
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Jeszcze raz Pell
Rozwiązaniami podstawowymi są:
\(\displaystyle{ x=9, y=4}\)
zauważmy, że rozwiązania będą postaci:
\(\displaystyle{ \sqrt{5}= [2, \overline{4}]}\)
\(\displaystyle{ x=P_{2k+1}}\)
\(\displaystyle{ y=Q_{2k+1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ P_{i+1}=4P_{i}+P_{i-1}}\)
\(\displaystyle{ Q_{i+1}=4Q_{i}+Q_{i-1}}\)
zauważmy też, że:
\(\displaystyle{ x+y \sqrt{5}=(9+4 \sqrt{5})^k}\)
bo 9 i 4 są podstawowymi rozwiązaniami tego równania
\(\displaystyle{ x=- \frac{(9-4 \sqrt{5})^k+(9+4 \sqrt{5})^k}{2}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{(9-4 \sqrt{5})^k-(9+4 \sqrt{5})^k}{2 \sqrt{5}}}\)
Co łatwo sprawdzić podstawiając do wyjściowego równania.
\(\displaystyle{ x=9, y=4}\)
zauważmy, że rozwiązania będą postaci:
\(\displaystyle{ \sqrt{5}= [2, \overline{4}]}\)
\(\displaystyle{ x=P_{2k+1}}\)
\(\displaystyle{ y=Q_{2k+1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ P_{i+1}=4P_{i}+P_{i-1}}\)
\(\displaystyle{ Q_{i+1}=4Q_{i}+Q_{i-1}}\)
zauważmy też, że:
\(\displaystyle{ x+y \sqrt{5}=(9+4 \sqrt{5})^k}\)
bo 9 i 4 są podstawowymi rozwiązaniami tego równania
\(\displaystyle{ x=- \frac{(9-4 \sqrt{5})^k+(9+4 \sqrt{5})^k}{2}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{(9-4 \sqrt{5})^k-(9+4 \sqrt{5})^k}{2 \sqrt{5}}}\)
Co łatwo sprawdzić podstawiając do wyjściowego równania.