Znajdź rozwiązanie (x,y) z podanego równania .

sh1n · Post autor: **sh1n** » 30 gru 2015, o 11:16

Mam znaleźć rozwiązania (x,y) dla podanych równań , lub uzasadnić , że takie rozwiązania nie istnieją .
\(\displaystyle{ a) 18x + 27y = 9}\)
\(\displaystyle{ b)18x + 27y = 3}\)
\(\displaystyle{ c)18x + 27y = 36}\)

Więc :
Z algorytmu Euklidesa rozpisałem a)
\(\displaystyle{ NWD(27,18) = 9}\)

\(\displaystyle{ 27 = 1 \cdot 18 + 9}\)
\(\displaystyle{ 18 = 2 \cdot 9 + 0}\)

Z rozszerzonego algorytmu Euklidesa

\(\displaystyle{ 9 = 1 \cdot 27 - 1 \cdot 18}\)

więc \(\displaystyle{ x = 1 , y = -1}\)

Nastepnie dla b) Rozwiązanie takiego równania nie istnieje ponieważ 3 nie jest całkowitą wielokrotnością NWD(27,18) .

Dla c) i tutaj nie jestem pewien , ale zapisałem że 36 jest calkowitą wielokrotnościa NWD(27,18) czyli takie równanie posiada rozwiązanie , które można wyznaczyć przez

\(\displaystyle{ 9 = 1 \cdot 27 - 1 \cdot 18 / \cdot 4}\)

Co daje nam \(\displaystyle{ x = 4 , y = - 4}\)

2. W grupie \(\displaystyle{ (Z ^{+} _{17}, \cdot_{17})}\)
Wyznacz rzędy elementów 2 oraz 3 i znajdź podgrupy cykliczne generowane przez te elementy .
Tutaj kompletnie nie mam pojęcia jak zacząć , byłbym wdzięczny za jakąś "kluczową rade "

a4karo · Post autor: **a4karo** » 30 gru 2015, o 11:27

2. dodawaj do siebie tak długo, aż dostaniesz 0

Premislav · Post autor: **Premislav** » 30 gru 2015, o 11:41

a) Ale co to znaczy znaleźć rozwiązanie? Podać jakieś konkretne rozwiązanie, czy może znaleźć wszystkie rozwiązania? Bo jeśli to drugie, to odpowiedzią jest \(\displaystyle{ x=-1+3s, y=1-2s}\) dla \(\displaystyle{ s \in \ZZ}\)
b) OK
c) na odwrót, tj. \(\displaystyle{ x=-4}\)etc. Plus ta sama uwaga, co w a)
2. A to nie jest multyplikatywne? Tj. mnożysz tak długo przez siebie, aż reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 17}\) będzie jedynka.

sh1n · Post autor: **sh1n** » 30 gru 2015, o 16:53

tak , faktycznie co do tych rozwiązań to zamieniłem x z y , na jakiej podstawie można wyznaczyć taki ogólny wzór ?
Co do tych grup to chyba będę musiał doczytać bo kompletnie nie łapie tematu , jakieś książki dotyczące struktur algebraicznych przystępnym językiem ?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 31 gru 2015, o 01:18

Jeśli chodzi o pierwsze pytanie - to wynika to z rozszerzonego algorytmu Euklidesa, choć przy tak prostym przykładzie można po prostu zgadnąć - tj. zauważyć, że takie \(\displaystyle{ x,y}\) jak podałem są "dobre", a następnie uzmysłowić sobie, że \(\displaystyle{ 2x+3y=1}\) to równanie prostej w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) o postaci parametrycznej jak wyżej (jak w rozw. tylko \(\displaystyle{ s \in \RR}\)), zaś interesujące nas rozwiązania to punkty kratowe z tej prostej.
Co do drugiego pytania... Przystępnym językiem, haha. Kostrikin? Żart, muszę go sprzedać (w sensie nie sprzedać żart, tylko sprzedać książkę), z tego się nie da uczyć, jeśli jest się zwykłym człowiekiem. Nie wiem, możesz przejrzeć skrypty, np. czy .
Ten drugi powinien być przystępny (bo był przeznaczony dla uczestników łatwiejszego wykładu z algebry - tj. tego, na który ja uczęszczałem ze strachu, jaki obudził we mnie rzeczony Kostrikin; jednak tego skryptu nie czytałem, bo wolę prozę).