Czy istnieją liczby całkowite spelniające to równanie ?

[sh1n]

a) \(\displaystyle{ 4543x - 4758y = 1}\)
b) \(\displaystyle{ 4543x - 4758y = 17}\)

Zrobiłem coś takiego :
Z algorytmu Euklidesa
\(\displaystyle{ NWD (4543,4578) = 1}\)
Następnie z rozszerzonego Algorytmu Euklidesa zapisałem \(\displaystyle{ 1 = 4543x - 4758y}\) jako
\(\displaystyle{ ... = -509 \cdot 4543 + 486 \cdot 4758}\) , nie mam pojęcia natomiast jak to dalej zapisać czy po prostu wystarczy zapisac \(\displaystyle{ x = -509 , y = 486}\) ?
Oraz jak postąpić z podpunktem b , czy jeżeli \(\displaystyle{ NWD(4543,4758) \neq 17}\) to wystarczy zapisać że dla danego równania nie istnieją \(\displaystyle{ x,y \in Z}\) spełniające go ? Z góry dziękuje za pomoc .

[AndrzejK]

Co do pierwszego pytania, tak, ale zgubiłeś minusa. Skoro masz \(\displaystyle{ {\red{-}}4758y}\) to \(\displaystyle{ y=-486}\).

Co do drugiego, nie masz racji. Tego typu równania mają rozwiązania gdy \(\displaystyle{ NWD(a,b)|c}\). W tym przypadku \(\displaystyle{ NWD(4543,4578)=1}\), a \(\displaystyle{ 1|17}\), więc równanie będzie mieć rozwiązanie.

Rozwiązanie to łatwo można wyznaczyć korzystając z a)

Skoro \(\displaystyle{ 1= 4543 \cdot (-509) - 4758 \cdot (- 486)}\), to mnożąc obustronnie przez \(\displaystyle{ 17}\) dostajemy \(\displaystyle{ 17=...?}\)