układ reszt modulo n

[Krzychu12321]

Wyznaczyć wszystkie całkowite dodatnie \(\displaystyle{ n}\), dla których istnieją takie pełne układy reszt \(\displaystyle{ \left\{ a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ \left\{ b_{1}, b_{2}, ... , b_{n}\right\}}\) modulo \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ \left\{a_{1}+ b_{1},a_{2}+ b_{2}, ... , a_{n}+b_{n}\right\}}\) również jest pełnym układem reszt modulo \(\displaystyle{ n}\).

[Pinionrzek]

Ukryta treść:    

Odpowiedź: dla wszystkich liczb nieparzystych.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}b_i \equiv \sum_{i=1}^{n}a_i \equiv \frac{n(n+1)}{2} \pmod{n}}\). Jeżeli teraz założymy, że \(\displaystyle{ \left\{ a_1+b_1, a_2+b_2, a_n+b_n\right\}}\) jest pełnym układem reszt modulo \(\displaystyle{ n}\), to także \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i) \equiv \frac{n(n+1)}{2} \pmod{n}}\). Z poprzedniej obserwacji mamy jednak, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i) \equiv n(n+1) \pmod{n}}\), zatem \(\displaystyle{ n}\) musi być nieparzyste. Pozostaje więc sprawdzić, czy dla dowolnej liczby nieparzystej to zachodzi. Przyjmując, że \(\displaystyle{ a_i = b_i=i}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ a_1+b_1=2i}\), a ponieważ \(\displaystyle{ n}\) jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ 2}\), mamy tezę.