moduły własność

[wielkireturner]

Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą złożoną naturalną, \(\displaystyle{ p = ab}\); \(\displaystyle{ a,b>1}\) są dzielnikami \(\displaystyle{ p}\). Skąd wówczas wynika, że nie zachodzi \(\displaystyle{ (a \cdot b -1 )! \equiv -1 \pmod{a \cdot b}}\)?
edit: Myślę, że wynika to z tego, że w \(\displaystyle{ (ab-1)!}\) występuje \(\displaystyle{ a,b}\), stąd \(\displaystyle{ (a \cdot b -1 )! \equiv 0 \pmod{ab}}\).

[Zahion]

\(\displaystyle{ ab | \left( p-1\right)! b}\)
\(\displaystyle{ \left( p-1\right)! b \equiv 0 \pmod{p}}\), stąd
\(\displaystyle{ \left( p-1\right)! b \not\equiv -b \pmod{p}}\) i mamy teze.

Tak, obie z tych liczb występują, wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ ab - 1 > a , ab - 1 > b}\). Co z sytuacją \(\displaystyle{ a = b}\) ?

[wielkireturner]

\(\displaystyle{ ab | \left( p-1\right)! b}\)
\(\displaystyle{ \left( p-1\right)! b \equiv 0 \pmod{p}}\), stąd
\(\displaystyle{ \left( p-1\right)! b \not\equiv -b \pmod{p}}\) i mamy teze.

Tak, obie z tych liczb występują, wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ ab - 1 > a , ab - 1 > b}\). Co z sytuacją \(\displaystyle{ a = b}\) ?

W tej sytuacji pomaga podstawienie \(\displaystyle{ a=b}\) do \(\displaystyle{ \left( p-1\right)! b \not\equiv -b \pmod{p}}\) i wówczas mamy \(\displaystyle{ \left( p-1\right)!}\) a \(\displaystyle{ \not\equiv -a \pmod{p}}\), co jest oczywiście prawdą. Ale faktycznie rozumowanie, że w \(\displaystyle{ (p-1)!}\) występują czynniki \(\displaystyle{ a,b}\) w tym przypadku się nie sprawdza.