Niewymierność liczby

[jasiek196]

Witam, mam problem z pewnym zadaniem. Muszę udowodnić niewymierność liczby \(\displaystyle{ \sqrt{2}+ \sqrt{3}}\)


Zupełnie nie wiem, jak sie za to zabrać. Widziałem metodę z wielomianem, lecz nie potrafię jej zrozumieć. Kolejna metoda, z NWD wydaje mi się, że nie dotyczy liczby będącej sumą liczb niewymiernych.

[piasek101]

Co do wielomianu - dotyczy ona twierdzenia o istnieniu wymiernego pierwiastka wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Szukasz takiego wielomianu, którego pierwiastkiem jest dana liczba, zaczynasz od \(\displaystyle{ (x-(\sqrt 2 +\sqrt 3))}\); potem domnażasz przez takie nawiasy aby liczby niewymierne zniknęły i wykazujesz, że wielomian nie ma pierwiastków wymiernych.

[a4karo]

Załóż, że jest wymierna i równa np. \(\displaystyle{ q}\). Wtedy \(\displaystyle{ \sqrt{3}=q-\sqrt{2}}\).
Podnieś do kwadratu i zobacz, co dostaniesz.

[arek1357]

Wielomian minimalny to:

\(\displaystyle{ x^4-10x^2+1=0}\)

Zastanów się jak wygląda grupa Galois tego wielomianu!

[a4karo]

Wielomian minimalny to:

\(\displaystyle{ x^4-10x^2+1=0}\)

Zastanów się jak wygląda grupa Galois tego wielomianu!

Wbijanie gwoździa przy użyciu kafara...

[arek1357]

W sumie bardzo źle się wbija małe gwoździe przy użyciu młotka jeszcze gorzej przy użyciu ciężkiego młota,
lecz przy użyciu kafara to prawdziwa tragedia. Ostatnio sporo pracuję narzędziami do metalu więc dobrze o tym wiem!

Ale, że napisałem jaki jest wielomian minimalny to chyba dobrze!

[a4karo]

Zawsze się przyda. Choć mógłbyś napisac jak do niego dojść:)

[arek1357]

Tak ale do czego dojść bo mi w szkole mówili, że: "ty do niczego nie dojdziesz w życiu"!


a co do równania to chyba proste:

\(\displaystyle{ x= \sqrt{2}+ \sqrt{3}/^2}\)

\(\displaystyle{ x^2=5+2 \sqrt{6}}\)


\(\displaystyle{ x^2-5=2 \sqrt{6}/^2}\)


\(\displaystyle{ x^4-10x^2+1=0}\)


Wszystkie pierwiastki tego wielomianu są postaci:

\(\displaystyle{ x_{k}=e_{i} \sqrt{2}+e_{j} \sqrt{3}, k=1,2,3,4,e_{s}= \pm 1}\)

Nie ma pierwiastków wielokrotnych

a więc grupa Galois pierwiastków jest izomorficzna z grupą czwórkową Kleina!

[a4karo]

A teraz powiedz autorowi pytania jak z tego wynika, że
0. ten wielomian jest minimalny
1. Grupa Galois nie jest cykliczna?
2. liczba \(\displaystyle{ \sqrt 2+\sqrt 3}\) jest niewymierna

[jasiek196]

Bardzo ciekawe to, co Panowie piszą szczególnie, że ostatnio zastanawiałem się nad zmianą kierunku studiów na matematykę i pójście w stronę mat. fin. lub aktuariatu

Wracając do zadania, to z tw. o pierwiastkach wymiernych potencjalne pierwiastki to 1 i -1, a żaden z nich nie zeruje wielomianu. Czy to kończy dowód?

[a4karo]

tak, wynika.
Ale jak wiesz, że \(\displaystyle{ \sqrt 2}\) jest niewymierny, to moja sugestia prowadzi natychmiast do rozwiązania.

[jasiek196]

Wolę się upewnić, stąd moje ciągłe pytania.

Wielomian czwartego stopnia, który podał arek1357 nie ma pierwiastków wymiernych, co dowodzi faktu, że liczba którą podałem nie jest wymierna?

[piasek101]

Tak.

[jasiek196]

Dziękuję wszystkim za pomoc.