Dla jakich n liczba jest kwadratem

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 19 gru 2015, o 07:21

Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ n ^{2}+4n-8}\) jest kwadratem liczby naturalnej?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 19 gru 2015, o 07:35

Uzupełnij do kwadratu, rozłóż i zanalizuj.

Post autor: **Ponewor** » 24 gru 2015, o 20:23

Jak ma wyglądać ten rozkład?

Zordon · Post autor: **Zordon** » 24 gru 2015, o 21:15

Rozkład nie jest potrzebny (ani możliwy), ale można zauważyć, że różnica pomiędzy dwoma kolejnymi kwadratami staje się od pewnego miejsca większa niż \(\displaystyle{ 12}\), dlatego wystarczy rozważyć tylko kilka przypadków.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 24 gru 2015, o 21:20

Zapisać w postaci kanonicznej powyższy trójmian. Otrzymamy, że \(\displaystyle{ (n+2)^2-12=k^2}\)wystarczy rozwiązać równanie diofantyczne tworząc różnicę kwadratów.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 24 gru 2015, o 21:51

Cos mi się przysniło: widziałem \(\displaystyle{ +8-16}\) zamiast \(\displaystyle{ +4-12}\).
Sposób Zordona szybko prowadzi do wyniku.

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 24 gru 2015, o 23:34

Znaczy sposób Zordona widziałem jednak mi się on nie podoba. Fajniej jest rozwiązać to równanie diofantyczne Kartezjusza. Wtedy wszystko ładnie wychodzi.