Jak oszacować wartość?
-
mint18
- Użytkownik
- Posty: 279
- Rejestracja: 16 lip 2015, o 11:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lub
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 21 razy
Jak oszacować wartość?
Znaleźć \(\displaystyle{ a}\) naturalne, że zachodzi \(\displaystyle{ \frac{a}{10} \le \frac{2000!}{1950! \cdot 2000^{50}} \le \frac{a+1}{10}}\).
-
Ania221
- Użytkownik
- Posty: 1923
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 326 razy
Jak oszacować wartość?
\(\displaystyle{ \frac{a}{10} \le \frac{1950! \cdot 1951 \cdot ..... \cdot 2000}{1950! \cdot 2000^{50}} \le \frac{a+1}{10}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{10} \le \frac{1951 \cdot ..... \cdot 2000}{2000^{50}} \le \frac{a+1}{10}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{10} \le \frac{1951 \cdot ..... \cdot 2000}{2000 \cdot 2000 \cdot ...... \cdot 2000} \le \frac{a+1}{10}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{10} \le 0,975 \cdot .... \cdot 1 \le \frac{a+1}{10}}\)
Szacunkowo \(\displaystyle{ \frac{1}{10} \le 0,975 \cdot .... \cdot 1 \le \frac{2}{10}}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{10} \le \frac{1951 \cdot ..... \cdot 2000}{2000^{50}} \le \frac{a+1}{10}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{10} \le \frac{1951 \cdot ..... \cdot 2000}{2000 \cdot 2000 \cdot ...... \cdot 2000} \le \frac{a+1}{10}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{10} \le 0,975 \cdot .... \cdot 1 \le \frac{a+1}{10}}\)
Szacunkowo \(\displaystyle{ \frac{1}{10} \le 0,975 \cdot .... \cdot 1 \le \frac{2}{10}}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Jak oszacować wartość?
Po redukcji mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{10} \le \prod_{i=1}^{50} \frac{1950+i}{2000} \le \frac{a+1}{10}}\)
Szacunkowo:
... %29%2F2000
czyli \(\displaystyle{ a=5}\). Nad uzasadnieniem jeszcze się zastanowię.
\(\displaystyle{ \frac{a}{10} \le \prod_{i=1}^{50} \frac{1950+i}{2000} \le \frac{a+1}{10}}\)
Szacunkowo:
... %29%2F2000
czyli \(\displaystyle{ a=5}\). Nad uzasadnieniem jeszcze się zastanowię.
-
Ania221
- Użytkownik
- Posty: 1923
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 326 razy
Jak oszacować wartość?
Hm...ja liczyłam na piechotę.
Z wolframa faktycznie wychodzi 5.
Ale czy można to zrobić jakoś sprytniej, bez wolframa i liczenia na piechotę?
Z wolframa faktycznie wychodzi 5.
Ale czy można to zrobić jakoś sprytniej, bez wolframa i liczenia na piechotę?
-
Zahion
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Jak oszacować wartość?
Luzne szacowanie :
Nasz iloczyn to \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n = 25} \frac{\left( 1950 + i\right)\left( 2000-i+1\right) }{2000^{2}}}\)
Otóz
\(\displaystyle{ \frac{1951}{2000} \le \frac{\left( 1950 + i\right)\left( 2000-i+1\right) }{2000^{2}} \le \frac{1952}{2000} , 1 \le i \le 25}\),
czyli
\(\displaystyle{ 0,5 < \left( \frac{1951}{2000}\right)^{25} \le \prod_{i=1}^{n = 25} \frac{\left( 1950 + i\right)\left( 2000-i+1\right) }{2000^{2}} \le \left( \frac{1952}{2000}\right)^{25} < 0,6}\)
Generalnie teraz zasadniczym problemem pojawia sie obliczenie, czy też oszacowanie tych dwóch krańcowych wartości, tą z lewej strony można przykryć przez \(\displaystyle{ \frac{39}{40}}\), ale podniesienie tego do \(\displaystyle{ 25}\) potegi też nie jest łatwą sprawą.
Luznie -> \(\displaystyle{ \left( \frac{1951}{2000}\right)^{25} > \left( \left( 1 - \frac{1}{40} \right)^{40} \right)^{ \frac{25}{40} } > \left( \frac{1}{e} \right) ^{ \frac{5}{8} } > 0,5}\).
Nasz iloczyn to \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n = 25} \frac{\left( 1950 + i\right)\left( 2000-i+1\right) }{2000^{2}}}\)
Otóz
\(\displaystyle{ \frac{1951}{2000} \le \frac{\left( 1950 + i\right)\left( 2000-i+1\right) }{2000^{2}} \le \frac{1952}{2000} , 1 \le i \le 25}\),
czyli
\(\displaystyle{ 0,5 < \left( \frac{1951}{2000}\right)^{25} \le \prod_{i=1}^{n = 25} \frac{\left( 1950 + i\right)\left( 2000-i+1\right) }{2000^{2}} \le \left( \frac{1952}{2000}\right)^{25} < 0,6}\)
Generalnie teraz zasadniczym problemem pojawia sie obliczenie, czy też oszacowanie tych dwóch krańcowych wartości, tą z lewej strony można przykryć przez \(\displaystyle{ \frac{39}{40}}\), ale podniesienie tego do \(\displaystyle{ 25}\) potegi też nie jest łatwą sprawą.
Luznie -> \(\displaystyle{ \left( \frac{1951}{2000}\right)^{25} > \left( \left( 1 - \frac{1}{40} \right)^{40} \right)^{ \frac{25}{40} } > \left( \frac{1}{e} \right) ^{ \frac{5}{8} } > 0,5}\).