Układ równań

[Wiesiek7]

Witam
Chciałem się spytać, jak rozwiązać taki oto układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{1}{y}= \frac{1}{4 x^{2} }+1 & \\
\frac{1}{z}= \frac{1}{4 y^{2} }+1\\
\frac{1}{x}= \frac{1}{4 z^{2} }+1}
\end{array} \right}\)

Z góry dziekuję

[Premislav]

Możesz podstawić \(\displaystyle{ \frac{1}{2x}=\tg a_{1}, \frac{1}{2y}=\tg a_{2}, \frac{1}{2z}=\tg a_{3}}\), niech \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \left(0, \frac \pi 2 \right)}\), bo widać, że w niedodatnich nie ma rozwiązania. To powinno uprościć sprawę, choć nie doliczyłem.

[Qń]

Dodanie stronami, przeniesienie wszystkiego na jedną stronę i uporządkowanie daje:
\(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{2x}\right)^2+\left( 1- \frac{1}{2y}\right)^2+\left( 1- \frac{1}{2z}\right)^2=0}\)

Q.

[Wiesiek7]

Bardzo dziękuję Qń Próbowałem z podpowiedzią Premislava, ale mi nic nie wyszło Może masz jeszcze jedną wskazówkę, żeby ten juz trochę bardziej uproszczony układ równań rozwiązać z tangensami? Rozwiązanie Qń jest bardzo dobre, ale to rozwiązanie wydaje się ciekawe

[a4karo]

Nie masz żadnej gwarancji, że sugestia premislava prowadzi do rozwiązania. (może mu wejdę na ambicję )

[Premislav]

Ach, tak, to było durne, wydawało mi się, że coś się ładnie skróci, ale nie, dostajemy super przyjemne równanko stopnia - bagatela! - ósmego, co więcej na cosinusy, a więc możliwe, że nawet gorzej niż gdyby od razu podstawiać na pałę z wyjściowego układu. Sposób Qnia to jest to, o co zapewne chodziło. Próbowałem robić też tak, ale jeśli ja tak liczę, że mi wychodzi
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2x}-1 \right)^{2}= \frac{1}{4x^{2}}-\frac{1}{4x}+1}\), to chyba nie jestem najlepszą osobą do pomocy komukolwiek w czymkolwiek...
Jak to mówią, czasami mądrość przychodzi z wiekiem, a czasem wiek przychodzi sam. Przepraszam za ten bzdurny "pomysł".

[Zahion]

Można też szybko \(\displaystyle{ \frac{1}{y} = \frac{1}{4x^{2}} + 1 \ge \frac{1}{x} = \frac{1}{4z^{2}} + 1 \ge \frac{1}{z} = \frac{1}{4y^{2}} + 1 \ge \frac{1}{y}}\) stąd oczywiście mamy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{4k^{2}} = 1, k = \frac{1}{2}}\), ujemne rozwiązanie odpada ( \(\displaystyle{ k}\) tj. \(\displaystyle{ x,y,z}\) ).

[Wiesiek7]

Wielkie wam dzięki Rozwiązanie błędne, ale dało mi spojrzeć na ten układ równań też z innej strony Hehe Dzięki Zachion Byłem blisko tego rozwiązania, ale nie wiem dlaczego mi nie pyknęło Dzięki wam za pomoc