Moje? twierdzenie o parzystości ... takich tam

[Brombal]

Ostatnio nieco kombinuję w parzystościach liczb i doszedłem do czegoś takiego. Spotkaliście się z takim lub podobnym twierdzeniem?

Twierdzę, że dla liczb \(\displaystyle{ a,b}\) naturalnych nieparzystych oraz \(\displaystyle{ n,m}\) naturalnych parzystych
\(\displaystyle{ a^{n} + b^{m}}\) jest liczbą parzystą pierwszego stopnia.

[liu]

Co to znaczy, że liczba jest parzysta pierwszego stopnia?

[Brombal]

Dzieli się jednokrotnie przez \(\displaystyle{ 2}\). Przez \(\displaystyle{ 4, 8, 16...}\) i dalej już nie.
np. \(\displaystyle{ 6}\) jest liczbą parzystą pierwszego stopnia bo dzieli się raz przez \(\displaystyle{ 6/2=3}\)
a \(\displaystyle{ 8}\) jest liczbą parzystą trzeciego stopnia \(\displaystyle{ 8/2=4 - 4/2=2 - 2/2=1}\)

Interesuje mnie to, czy ktoś się z takim czymś zetknął. Bo dowód tego twierdzenia jest banalny a nigdzie nie trafiłem na taką właściwość liczb.

[a4karo]

Pewnie mnostwo ludzi sie z tym zetknęło, bo wynika to z faktu, że kwadrat liczby nieparzystej jest postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) - fakt ogólnie znany.

[Brombal]

Nie znałem tego:

Pewnie mnostwo ludzi sie z tym zetknęło, bo wynika to z faktu, że kwadrat liczby nieparzystej jest postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) - fakt ogólnie znany.

Pokombinowałem troszkę z tym wzorem i nieco go uogólniłem (wygląda na to, że kwadrat liczby nieparzystej da sie zapisac w postaci \(\displaystyle{ 8k+1}\).)

Potęga parzysta \(\displaystyle{ n}\) liczby nieparzystej \(\displaystyle{ a}\) gdzie \(\displaystyle{ P(n)}\)- stopień parzystości liczby \(\displaystyle{ n}\), da sie zapisac w postaci \(\displaystyle{ a^{n} =2 ^{2+P(n)} k+1}\).

Mozesz na ten wzorek "luknać" czy się zgadza?

[a4karo]

Tak, kwadraty liczb nieparzystych sa postaci \(\displaystyle{ 8k+1}\).

Natomiast na wzorek, który podałeś nie będę "lukał". Matematyka działa tak: jak uważasz, że coś jest prawdą, to formułujesz twierdzenie i podajesz dowód.
Jeżeli natomiast stawiasz hipotezę, to musisz ja poprawnie sformułować i być może ktoś sie nią zajmie. Fajnie, jak poprzesz ja jakimiś obserwacjami, albo rozumowaniem, które ja uprawdopodabnia.

[Brombal]

Zrozumiałem
Dzięki, że odpowiedziałeś.
"Wzorek" sobie wyprowadziłem.
Z tym "lukaniem" spodziewałem sie bardziej, że odpowiesz - "chłopie takiego wzorku uczą w przedszkolach" i nie będzie sensu się produkować by ogłaszać nowość w algebrze . Nieznajomość podanego przez Ciebie wzoru świadczy o tym, jakim jestem "lajkonikiem" w algebrze i warto by ktoś otrzaskany otrzeźwił cieniasa.
Pozdrawiam

[a4karo]

Zrozumiałem
Dzięki, że odpowiedziałeś.
"Wzorek" sobie wyprowadziłem.
Z tym "lukaniem" spodziewałem sie bardziej, że odpowiesz - "chłopie takiego wzorku uczą w przedszkolach" i nie będzie sensu się produkować by ogłaszać nowość w algebrze . Nieznajomość podanego przez Ciebie wzoru świadczy o tym, jakim jestem "lajkonikiem" w algebrze i warto by ktoś otrzaskany otrzeźwił cieniasa.
Pozdrawiam

Jak wyprowadziłeś wzorek, to się nim podziel: fajnie się dzielić wiedzą. To, ze kwadraty liczb nieparzystych sa postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) jest dość powszechna (choć nie w liceach in np. na studiach technicznych, ale ludzie, którzy maja do czynienia z matematyka czy to profesjonalnie, czy na poziomie konkursów matematycznych, maja to w małym palcu). Fakt, ze maja one postać \(\displaystyle{ 8k+1}\) wymaga chwili zastanowienia: \(\displaystyle{ (2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1}\) a iloczyn \(\displaystyle{ n(n+1)}\) jest parzysty)

Postem chciałem Ci pokazać jak wygląda proces tworzenia nowych rzeczy w matematyce, i zdecydowanie nie miałem zamiaru zniechęcać Cię do poszukiwań.

[Brombal]

Skoro nie znasz tego "wzorka" to być może nie został wyprowadzony (z przyjemnością podzielę sie tym co wykombinowałem) , dla pewności nazwę go "Wzorkiem Brombala" jeżeli juz nie ma nazwy, będzie weselszy;-)
\(\displaystyle{ a^{n} =2 ^{2+P(n)} k+1}\)
Dla pewności przypomnę że suma dwóch liczb nieparzystych w potęgach parzystych jest zawsze pierwszego stopnia parzystości. (od tego zacząłem ten wątek). (różnica takich liczb jest co najniej stopnia drugiego - patrz niżej)

Teraz trochę schodów. Nie znalazłem pewnych praw parzystości (słabo szukałem?) to je sobie wyprowadziłem. Jak trzeba będzie to je publicznie wyprowadzę. (Całość zagadnienia dotyczy oczywiście liczb naturalnych)
1. jeżeli suma dwóch liczb nieparzystych jest stopnia pierwszego to ich różnica (oczywiście od większego odejmujemy mniejszy wyraz) jest co najmniej stopnia drugiego. I na odwyrtkę. jeżeli różnica dwóch liczb nieparzystych jest stopnia pierwszego to ich suma jest co najmniej stopnia drugiego.
2. suma (różnica) dwóch liczb o równym stopniu parzystości jest stopnia co najmniej o 1 większego.
3. Suma(różnica) dwóch liczb o różnych stopniach parzystości jest stopnia liczby o niższym stopniu parzystości.
4. iloczyn dwóch liczb ma stopień parzystości równy sumie stopni parzystości liczb.

Tyle mondralizmów o parzystościach.

\(\displaystyle{ a}\) - liczba nieparzysta, \(\displaystyle{ n}\)-liczba parzysta, \(\displaystyle{ P\left( n\right)}\)- funkcja zwracająca stopień parzystości liczby \(\displaystyle{ n}\), następnie liczby \(\displaystyle{ i}\),\(\displaystyle{ m}\) - pomocnicze. Gdzie \(\displaystyle{ n=2 ^{P\left( n\right)}m}\)jak widać m jest nieparzyste a n w zależności od stopnia parzystości można przedstawić jako \(\displaystyle{ 2 \cdot 2... \cdot 2 \cdot m}\) ( nie umiem wpisać mnożenia )

Założenie jest takie: \(\displaystyle{ a^{n} =2 ^{i)} k+1}\) szukamy i
Równanie po obustronnym odjęciu 1 przyjmuje postać
\(\displaystyle{ a^{n}-1 =2 ^{i} k}\)
Równanie po lewej stronie przyjmie postać zależne od stopnia parzystości następująco
1. dla pierwszego stopnia \(\displaystyle{ n}\); \(\displaystyle{ \left(a^{m}-1 \right)\left( a^{m}+1\right)}\)
2. dla drugiego odpowiednio \(\displaystyle{ n}\); \(\displaystyle{ \left(a^{2m}-1 \right)\left( a^{2m}+1\right)}\) dalej \(\displaystyle{ \left(a^{m}-1 \right)\left(a^{m}+1 \right)\left( a^{2m}+1\right)}\)

trudno się zapisuje tym latexem
Generalnie jest tak, że uzyskujemy równanie w postaci iloczynu \(\displaystyle{ P\left(n \right)-1}\) sum \(\displaystyle{ a^{parzystej}+1}\) i iloczynu sumy i różnicy\(\displaystyle{ a^{nieparzystej}+1}\) oraz \(\displaystyle{ a^{nieparzystej}-1}\).
Wszystkie składowe sum z potęgą parzystą mają stopień pierwszy. Ich iloczyn jest stopnia \(\displaystyle{ P\left(n \right)-1}\) + dodatkowo nieparzyste (z właściwości 1.) maja stopień (niezależnie, który stopień przyporządkujemy sumie, a który różnicy) \(\displaystyle{ 1}\) oraz co najmniej (zapiszę to jako) \(\displaystyle{ 2^{+}}\). Razem do kupy stopień parzystości lewej strony wynosi \(\displaystyle{ P\left( n\right)-1 + 1 + 2^{+}}\). Razem to stopień parzystości wynosi co najmnie \(\displaystyle{ P\left( n\right)+2}\).
Stąd \(\displaystyle{ i=P\left( n\right)+2}\)
I tak dochodzimy do Wzorka Brombala

Pozdrawiam i współczuję tym co to spróbują zanalizować

P.S.

dla \(\displaystyle{ n}\) - nieparzystych wzorek przyjmie postać

\(\displaystyle{ a^{n} =2 ^{2+P(n-1)} k+a}\)

[a4karo]

OK, pora wprowadzić trochę porządku

Zauważmy, że wystarczy udowodnic wzorek Brombala dla \(\displaystyle{ n}\) postaci \(\displaystyle{ 2^k}\). Jeżeli bowiem \(\displaystyle{ n=2^k\cdot m}\) i \(\displaystyle{ m}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ a^{2^k\cdot m}=(a^m)^{2^k}}\) i \(\displaystyle{ a^m}\) jest nieparzyste.

Zatem twierdzenie Brombala można sformułować tak. Dla \(\displaystyle{ k\geq 1}\) i nieparzystych \(\displaystyle{ a}\) zachodzi podzielność \(\displaystyle{ 2^{2+k}|a^{2^k}-1}\)

Dowód indukcyjny: dla \(\displaystyle{ k=1}\) już wiemy, że to prawda. Załóżmy prawdziwość wzorku dla \(\displaystyle{ k}\). Mamy

\(\displaystyle{ a^{2^{k+1}}=\left(a^{2^k}\right)^2=\dots}\)
Potrafisz dokończyć?


Jak podłubiesz trochę głębiej, to może urodzic sie z tego jakis mały artykulik np. w Matematyce ?

[Brombal]

\(\displaystyle{ 2^{2+k+1} = 2 \cdot 2^{2+k}}\) podzielne \(\displaystyle{ \left( a ^{ 2^{k} } \right) ^{2}-1}\) czyli \(\displaystyle{ \left( a ^{ 2^{k} } -1\right)\left( a ^{ 2^{k} } +1\right)}\)

\(\displaystyle{ \left( a ^{ 2^{k} } +1\right)}\) jest stopnia \(\displaystyle{ 1}\) tak jak i dwójeczka w \(\displaystyle{ 2 \cdot 2^{2+k}}\)

więc wracamy do zachodzącej podzielności dla \(\displaystyle{ k}\)

Zmusiłeś mnie bym sobie przypominał indukcję matematyczną - wstyd, że zapomniałem

Twoje rozwiązanie jest bardzo eleganckie

Pozdrawiam

[a4karo]

To, czy ten drugi czynnik jest "stopnia 1"" trzeba udowodnić.
A poza tym nie skończyłęs dowodu. (bo to co napisałęs wymaga solidnych uzasadnień.

Rozpisz te trzy kropeczki do końca: \(\displaystyle{ a^{2^k}=???+1}\)

[Brombal]

Chyba będę musiał zacząć od początku.
Jak przysięgnę, że to dobre wzory to nikt mi nie uzna?
Dobrej nocy

[a4karo]

No dobra, w zasadzie zrobiłeś krok indukcyjny, tyle, że w zapis trzeba się mocno wszytać, żeby go zrozumieć. Ładniej jest tak:

Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ 2^{2+(k+1)}|a^{2^{k+1}}-1}\). Zachodzi równość
\(\displaystyle{ a^{2^{k+1}}-1=\left(a^{2^{k}}-1\right)\left(a^{2^{k}}+1\right)}\)
Na mocy założenia indukcyjnego lewy nawias dzieli sie przez \(\displaystyle{ 2^{2+k}}\) a prawy nawias jest licbą parzystą, więc całość dzieli się przez \(\displaystyle{ 2\cdot 2^{2+k}}\) co kończy dowód

W swoim dowodzie bardzo dbasz o stopnie, tak jakbyś chciał pokazać, że \(\displaystyle{ 2^{2+k}}\) dzieli \(\displaystyle{ a^{2^k}}\), a \(\displaystyle{ 2^{2+k}}\) już nie, ale to nie jest prawdą: \(\displaystyle{ 7^2=48+1=3\cdot 3^4+1}\)

[Brombal]

Mam troszkę mało czasu na to co jest ciekawe... (praca).

Ze Wzorka Brombala udowodninego przez a4karo można wyciagnać ciekawą własność:

dla \(\displaystyle{ a}\) nieparzystego oraz \(\displaystyle{ n}\) parzystego ora \(\displaystyle{ P\left( n\right)}\) - funkcja zwracajaca stopień parzystości \(\displaystyle{ n}\)

wyrażenie \(\displaystyle{ a^{n}-1}\) jest co najmniej \(\displaystyle{ 2+P\left( n\right)}\) stopnia parzystości.
Zapisuję to tak \(\displaystyle{ P\left(a^{n}-1 \right) \ge 2+P\left( n\right)}\).

Odnośnie stopni parzystości mam lekkiego hopla na tym punkcie od czasu gdy udało mi sie dwukrotnie udowodnić Twierdzenie Fermata z wykorzystaniem własciwości parzystości.
Błędy znalazłem po pewnym czasie ale jaki to był fajny czas .
Jak zwykle w takich przypadkach podczas takiej roboty z Fermatem znalazłem parę ciekawych właściwości parzystości i ich stopni. Dodatkowo śledztwo w sprawie Fermata ujawniło mi odrobinę warunków, które musiałyby spełniac liczby w równaniu Fermata. Najgorsze, że jeden z warunków sobie wyprowadziłem zapiasłem na karteluszku i do dzisiaj nie moge sobie przypomnieć jak to zrobiłem . Zrobiłem nawet ciekawy, nietypowy algorytm na znajdowanie stopnia parzystości (nawet uruchomiłem w Excelu) a teraz nie potrafię go znaleźć (odtworzyć mogę). Zreszta algorytm do znajdowania stopnia parzystości jest nonsensowny ponieważ stopień parzystości liczby w zapisie 0, 1 jest taki jak pozycja pierwszej od prawej jedynki .

Pozdrawiam

P.S.
Tak sie pogapiłem na te wzorki i mozna je przedstawic nieco inaczej
\(\displaystyle{ P\left(a^{n}-1 \right) \ge P\left( 4 \cdot n\right)}\).
Podobnie
\(\displaystyle{ a^{n}=2 ^{P\left(4 \cdot n \right) } \cdot k+1}\)

-- 4 gru 2015, o 13:19 --

Tak dodatkowo ponieważ poniewierał sie tu temat dowodu na stopień parzystości sumy liczb nieparzystych w potędze parzystej. Taka sumę mozemy zawsze sprowadzić do sumy kwadratów liczb nieparzystych.
\(\displaystyle{ a^{2}+b ^{2}=\left ( a+b\right) ^{2} -2a \cdot b}\)
Suma dówch nieparzystych w nawiasie jest co najmniej stopnia pierwszego czyli w potędze drugiej jest co najmniej stopnia drugiego a wyrarzenie \(\displaystyle{ 2a \cdot b}\) jest dokładnie stopnia pierwszego.
Z trzeciego Brombalowego? prawa parzystosci:
3. Suma(różnica) dwóch liczb o różnych stopniach parzystości jest stopnia liczby o niższym stopniu parzystości.
Wynika, ze całe wyrażenie jest w pierwszym stopniu.
Pozdrawiam

-- 4 gru 2015, o 14:05 --

Ponowne P.S.
Tak sie pogapiłem na wzorek:
\(\displaystyle{ P\left(a ^{n} -1 \right) \ge P\left( 4 \cdot n\right)}\)
oraz na wzorek
\(\displaystyle{ a ^{n}=2 ^{P\left( 4 \cdot n\right) } \cdot k+1}\)

I można wykombinować że:
dla \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) nieparzystych oraz \(\displaystyle{ n}\) parzystego
\(\displaystyle{ P\left(a ^{n}-b ^{n} \right) \ge P\left( 4 \cdot n\right)}\)

chyba ciekawe?
Pozdrawiam

-- 4 gru 2015, o 14:21 --

Ponowne ponowne P.S.

dla a i b nieparzystych oraz n nieparzystego

\(\displaystyle{ P\left( a ^{n} \pm b ^{n} \right)=P\left( a\pm b\right)}\)

-- 6 gru 2015, o 22:49 --

Postanowiłem nieco uporządkować,poruszony temat , który dotyczył sumy parzystych potęg liczb nieparzystych. Temat się nieoczekiwanie rozwinął i wypadałoby by stało się to bardziej strawne a być może przydatne w praktyce. Przypuszczam, że wyniki poniższych rozważań już ktoś w przeszłości przedstawił, ja nie natrafiłem, stąd nikła nadzieja, że to nowość. Za wszelki krytyczne uwagi z góry dziękuję.
Pojęcie parzystości i nieparzystości dotyczy zbioru liczb całkowitych, ja ograniczam się jedynie do liczb naturalnych bez 0 (być może niektóre wzory działają w obszarze liczb całkowitych). Jednocześnie zwróciłem większą uwagę na stopień parzystości liczb.
To co znalazłem o parzystości/nieparzystości liczb:
1. Liczby parzyste to liczby całkowite podzielne przez 2. Każdą liczbę parzystą można zapisać w postaci 2k, gdzie k jest pewną liczbą całkowitą.
2. Liczby nieparzyste to liczby całkowite, które przy dzieleniu przez 2 dają resztę 1. Każdą liczbę nieparzystą można zapisać w postaci: 2k+1, gdzie k jest pewną liczbą całkowitą.
3. Suma parzystej liczby liczb parzystych jest liczbą parzystą.
4. Suma nieparzystej liczby liczb parzystych jest liczbą parzystą.
5. Suma parzystej liczby liczb nieparzystych jest liczbą parzystą.
6. Suma nieparzystej liczby liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą.
7. Suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości jest liczbą parzystą,
8. Suma i różnica dwóch liczb o różnej parzystości jest liczbą nieparzystą,
9. Iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą,
10. Iloczyn dwóch liczb całkowitych, z których co najmniej jedna jest parzysta, jest liczbą parzystą,
11. Stopień parzystości liczby całkowitej n, to największa taka liczba naturalna i, że n dzieli się przez .
- Liczby nieparzyste mają stopień parzystości \(\displaystyle{ 0}\),
- liczby parzyste mają stopień parzystości \(\displaystyle{ i \ge 1}\)
- Przyjmujemy, że \(\displaystyle{ 0}\) ma stopień parzystości \(\displaystyle{ -1}\)

Proponowane przeze mnie właściwości liczb. Na początek chciałbym wprowadzić pewne oznaczenia, które znacznie ułatwiają analizowanie różnych równań. Zapewne można to zrobić zgodnie ze sztuką - ja nie potrafię .
-\(\displaystyle{ P\left( n\right)}\) funkcja zwracająca stopień parzystości liczby \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ P_{0}}\) - liczba nieparzysta (stopień parzystości \(\displaystyle{ 0}\)), \(\displaystyle{ P_{ 1^{+} }}\) - liczba co najmniej w stopniu pierwszym, \(\displaystyle{ P_{1}}\) liczba o pierwszym stopniu parzystości.

A) Suma (różnica) dwóch liczb o równym stopniu parzystości jest stopnia co najmniej o \(\displaystyle{ 1}\) większego.
Teza: Jeżeli \(\displaystyle{ a, b, c, a_{1}, b_{1} \in N}\) i \(\displaystyle{ P\left(a \right) =P\left( b\right) =k,}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow P\left( a \pm b\right) \ge k+1}\)
1) \(\displaystyle{ k=0}\) to \(\displaystyle{ a=2 \cdot a _{1} +1}\); \(\displaystyle{ b=2 \cdot b _{1} +1}\)
\(\displaystyle{ a+b=\left( 2 \cdot a _{1} +1\right)+\left( 2 \cdot b _{1}+1 \right) =2 \cdot \left( a _{1} +b _{1} \right) +2=2 \cdot \left( a _{1} +b _{1} +1\right)=2 \cdot c}\) stąd \(\displaystyle{ P\left( a + b\right) \ge k+1}\)
\(\displaystyle{ a-b=\left( 2 \cdot a _{1} +1\right)-\left( 2 \cdot b _{1}+1 \right) =2 \cdot \left( a _{1}-b _{1} \right)=2 \cdot \left( a _{1} -b _{1}\right)=2 \cdot c}\) stąd \(\displaystyle{ P\left( a - b\right) \ge k+1}\)
dalej \(\displaystyle{ P\left( a \pm b\right) \ge k+1}\)
2)\(\displaystyle{ k >0}\) to \(\displaystyle{ a=2 ^{k} \cdot a _{1}}\);\(\displaystyle{ b=2 ^{k} \cdot b _{1}}\) stąd \(\displaystyle{ P\left( a _{1} \right)=P\left( b _{1} \right) =0}\)
\(\displaystyle{ a \pm b=2 ^{k} \cdot a _{1} \pm 2 ^{k} \cdot b _{1} =2 ^{k} \cdot \left( a _{1} \pm b _{1} \right)=2 ^{k} \cdot \left( 2 \cdot c\right) =2 ^{k+1} \cdot c}\) stąd \(\displaystyle{ P\left( a \pm b\right) \ge k+1}\).
B) Suma(różnica) dwóch liczb o różnych stopniach parzystości jest stopnia liczby o niższym stopniu parzystości.
Teza: Jeżeli \(\displaystyle{ a, b, c, a_{1}, b_{1}, k, l \in N}\) i \(\displaystyle{ P\left(a \right)=k ; P\left( b\right) =l ; k > l,}\) to \(\displaystyle{ P\left( a \pm b\right)=l}\)
1) \(\displaystyle{ P\left( l\right)=0;\left( a \pm b\right)=2 ^{k} \cdot a _{1} \pm 2 \cdot b _{1}+1=2 \cdot \left( 2 ^{k-1} \cdot a _{1} \pm b _{1} \right) \pm 1=2 \cdot c \pm 1}\) stąd \(\displaystyle{ P\left( a \pm b\right)=l}\)
2) \(\displaystyle{ P\left( l\right)>0;\left( a \pm b\right)=2 ^{k} \cdot a _{1} \pm 2 \cdot b _{1}=2 ^{l} \cdot \left( 2 ^{k-l} \cdot a _{1} \pm b _{1} \right) \pm 1=2 ^{l} \cdot c}\) stąd \(\displaystyle{ P\left( a \pm b\right)=l}\)
C) Iloczyn dwóch liczb ma stopień parzystości równy sumie stopni parzystości liczb.
Teza: Jeżeli \(\displaystyle{ a, b, c, a_{1}, b_{1} \in N}\) ; \(\displaystyle{ k,l \ge 0}\);\(\displaystyle{ P\left( a \cdot b\right) = P\left( a\right) +P\left( b\right)}\)
\(\displaystyle{ a \cdot b=2 ^{k} \cdot a _{1} \cdot 2 ^{l} b _{1} =2 ^{k+l} \cdot c}\) stąd \(\displaystyle{ P\left( a \cdot b\right) = P\left( a\right) +P\left( b\right)}\)
D) Iloraz dwóch liczb ma stopień parzystości równy różnicy stopni parzystości liczb.
Teza: Jeżeli \(\displaystyle{ a, b, \frac{a}{b} \in N}\) to \(\displaystyle{ P\left( \frac{a}{b} \right)=P\left( a\right) -P\left( b\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{2 ^{k} }{2 ^{l} } \cdot \left( \frac{a _{1} }{ b_{1} } \right)=2 ^{k-l} \cdot \frac{a _{1} }{b _{1} } =2 ^{k-l} \cdot c}\) stąd \(\displaystyle{ P\left( \frac{a}{b} \right)=P\left( a\right) -P\left( b\right)}\)
E) Jeżeli suma dwóch liczb nieparzystych jest stopnia pierwszego to ich różnica (oczywiście od większego odejmujemy mniejszy wyraz) jest co najmniej stopnia drugiego. I odwrotnie. jeżeli różnica dwóch liczb nieparzystych jest stopnia pierwszego to ich suma jest co najmniej stopnia drugiego.
Teza: Jeżeli \(\displaystyle{ a, b \in N}\) oraz \(\displaystyle{ P\left( a\right) =P\left( b\right)=P _{0}}\) oraz \(\displaystyle{ P\left( a+b\right)=1}\) to \(\displaystyle{ P\left( a-b\right) \ge 2}\) inaczej \(\displaystyle{ P\left( a-b\right)=P _{2 ^{+} }}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a, b \in N}\) oraz \(\displaystyle{ P\left( a\right) =P\left( b\right)=P _{0}}\) oraz \(\displaystyle{ P\left( a-b\right)=1}\) to \(\displaystyle{ P\left( a+b\right) \ge 2}\) inaczej \(\displaystyle{ P\left( a+b\right)=P _{2 ^{+} }}\)
1) \(\displaystyle{ P\left( a+b\right) =1}\); \(\displaystyle{ \left( a+b\right) =\left( a-b\right)+2 \cdot b}\) stąd \(\displaystyle{ \left( a-b\right) =\left( a+b\right)-2 \cdot b}\);\(\displaystyle{ P\left( a-b\right)=P\left( P _{1} -P _{1} \right) \ge 2}\)
2) \(\displaystyle{ P\left( a-b\right) =1}\); \(\displaystyle{ \left( a-b\right) =\left( a+b\right)-2 \cdot b}\) stąd \(\displaystyle{ \left( a+b\right) =\left( a-b\right)+2 \cdot b}\);\(\displaystyle{ P\left( a+b\right)=P\left( P _{1}+P _{1} \right) \ge 2}\)

Proponowane właściwości (od A do E) są bardziej ogólne od dotychczasowych i można z nich wyprowadzić właściwości od 2 do 10.

DOWODY i DYWAGACJE
F) Dowód na stopień parzystości sumy liczb nieparzystych w potędze parzystej.
Taka sumę możemy zawsze sprowadzić do sumy kwadratów liczb nieparzystych.
Jeżeli \(\displaystyle{ a, b \in N}\) oraz \(\displaystyle{ P\left( a\right) =P\left( b\right)=P _{0}}\) to \(\displaystyle{ P\left( a ^{2}+b ^{2} \right) =1}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+b ^{2}=\left( a+b\right) ^{2} -2 \cdot a \cdot b}\)
\(\displaystyle{ P\left( a^{2}+b ^{2}\right) =P\left( \left( a+b\right) \cdot \left( a+b\right) \right)-P _{1} =P\left( 2 \cdot P _{1 ^{+} }+ P _{1} \right) =P\left( P _{2 ^{+} } +P _{1} \right)=P _{1}}\)
Suma dwóch liczb nieparzystych w nawiasie jest co najmniej stopnia pierwszego (z właściwości A), czyli w potędze drugiej jest, co najmniej stopnia drugiego a wyrażenie \(\displaystyle{ 2 \cdot a \cdot b}\) jest dokładnie stopnia pierwszego (z właściwości C). Stąd (z właściwości B) \(\displaystyle{ P\left( a ^{2}+b ^{2} \right) =1}\).
G) Dowód na Wzór Brombala. Pokazano mi na forum (a4karo - dzięki), że taki dowód to z wykorzystaniem indukcji jest łatwizna. Zrobię to jednak z wykorzystaniem własności parzystości (niech się na coś przydadzą).
Teza: Jeżeli \(\displaystyle{ a, b, k, m, i \in N}\) oraz \(\displaystyle{ P\left( a\right) =P\left( b\right)=P\left( m\right) =P _{0}}\) oraz \(\displaystyle{ P\left( n\right) =P\left( 1 ^{+} \right)}\) to liczbę \(\displaystyle{ a ^{n}}\) da się zapisać wzorem \(\displaystyle{ a ^{n}=2 ^{P\left( 4 \cdot n\right) \cdot k+1 }}\).
\(\displaystyle{ n=2 ^{P\left( n\right) } \cdot m}\)
przekształcamy i szukamy \(\displaystyle{ i}\) \(\displaystyle{ a ^{2 ^{P\left( n\right) \cdot m } } =2 ^{i} \cdot k+1}\) na \(\displaystyle{ a ^{2 ^{P\left( n\right) \cdot m } }-1 =2 ^{i} \cdot k}\)
Rozpisujemy lewą stronę równania na: \(\displaystyle{ a ^{2 ^{P\left( n\right) \cdot m } } -1=\left( a ^{m}-1 \right) \cdot \prod_{0}^{P\left( n\right) -1} \left( a ^{2 ^{i} \cdot m } +1\right)}\)
dla \(\displaystyle{ P\left( n\right) =1}\) wzór przyjmuje postać \(\displaystyle{ a ^{2 ^{P\left( n\right) \cdot m } }-1 =\left( a ^{m}-1 \right) \cdot \left( a ^{m} +1\right)}\)
(z właściwości E ) \(\displaystyle{ P\left( a ^{2 ^{P\left( n\right) } \cdot m } -1\right) =P\left( \left( a ^{m}-1 \right) \cdot \left( a ^{m} +1\right)\right)=P\left( P _{1} +P _{2 ^{+} } \right)=P _{3 ^{+} }}\)
dla \(\displaystyle{ P\left( n\right) >1}\) wzór przyjmuje postać \(\displaystyle{ a ^{2 ^{P\left( n\right) \cdot m } }-1 =\left( a ^{m}-1 \right) \cdot \left( a ^{m} +1\right) \cdot \prod_{1}^{P\left( n\right) -1} \left( a ^{2 ^{i} \cdot m } +1\right)}\)
Z (właściwości F i C) \(\displaystyle{ P\left( a ^{2 ^{P\left( n\right) } \cdot m } -1\right) =P\left( P _{3 ^{+} } + \sum_{1}^{P\left( n\right)-1 }P _{1} \right) =P ^{2 ^{+} }+P\left( n\right) =P\left( 2 ^{i} \cdot k\right)}\) stąd \(\displaystyle{ i \ge P\left( n\right)+2}\) stąd \(\displaystyle{ a ^{n}=2 ^{P\left( n\right)+2 } \cdot k+1}\) z (właściwości C) można przedstawić jako: \(\displaystyle{ a ^{n}=2 ^{P\left( 4 \cdot n\right)} \cdot k+1}\)
H) Wzór Brombala dla \(\displaystyle{ P\left( n\right)=0}\)
Proponuję taki wzór \(\displaystyle{ a ^{n}=2 ^{P\left( 4 \cdot \left( n-1\right) \right)} \cdot k+a}\)
przekształcam \(\displaystyle{ a \cdot a ^{n-1}=2 ^{P\left( 4 \cdot \left( n-1\right) \right)} \cdot \left( \frac{k}{a} \right) \cdot a +a}\) po podzieleniu przez \(\displaystyle{ a}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ P\left( n-1\right)>0}\) oraz \(\displaystyle{ a ^{ n_{1}}=2 ^{P\left( 4 \cdot n _{1} \right)} \cdot k _{1} +1}\) czyli Wzór Brombala dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych.
I) Różnica parzystych potęg liczb nieparzystych
Teza: Jeżeli \(\displaystyle{ a, b, k _{a},k _{b} , n \in N}\) oraz \(\displaystyle{ P\left( a\right) =P\left( b\right)=P _{0}}\) oraz \(\displaystyle{ P\left( n\right)>0}\)
Ze Wzoru Brombala
\(\displaystyle{ a ^{n}=2 ^{P\left( 4 \cdot n\right) } \cdot k _{a} +1}\) oraz \(\displaystyle{ b ^{n}=2 ^{P\left( 4 \cdot n\right) } \cdot k _{b} +1}\)
\(\displaystyle{ a ^{n}-b ^{n}=2 ^{P\left( 4 \cdot n\right) \cdot }\left( k _{a}-k _{b} \right)}\) stąd
\(\displaystyle{ P\left( a ^{n} -b ^{n} \right) \ge P\left( 4 \cdot n\right)}\)-- 8 gru 2015, o 10:07 --J) dla \(\displaystyle{ a, b, n, k \in N}\) oraz \(\displaystyle{ P\left( a\right)=P\left( b\right)=P\left( n\right) =P _{0}}\)

Teza: \(\displaystyle{ P\left( a ^{n} \pm b ^{n} \right)=P\left( a\pm b\right)}\)
\(\displaystyle{ a ^{n} \pm b ^{n} =\left( a \pm b\right) ^{n} \pm \sum_{k=1}^{n-1} {n \choose k} \cdot a ^{k} \cdot b ^{n-k}}\) prawa stronę równania mozna rozpisać (dla przejrzystosci) joko:
\(\displaystyle{ \left( a \pm b\right) ^{n} \pm {n \choose 1} \cdot a ^{n-1} \cdot b ^{1} \pm .... {n\choose n-1} \cdot a ^{1} \cdot b ^{n-1}}\) jak widać równanie (pod sumą) jest symetryczne i można je zapisać jako \(\displaystyle{ \left( a \pm b\right) ^{n} \pm \sum_{k=1}^{ \frac{\left( n-1\right) }{2} } {n \choose k} \cdot a^{k} \cdot b ^{k} \cdot \left( a ^{n-2k} \pm b ^{n-2k} \right)}\)

dla \(\displaystyle{ n=3}\)
równanie przyjmie postać
\(\displaystyle{ \left( a \pm b\right) ^{n} \pm 3 \cdot a \cdot b \cdot \left( a \pm b\right)}\)
Po funkcjach parzystosci można to przedstawić jako:
\(\displaystyle{ 3 \cdot P\left( a \pm b\right) \pm P _{0} \cdot P\left( a \pm b\right)}\)
(z własciwości B) \(\displaystyle{ P\left( a ^{3} \pm b ^{3} \right) =P\left( a \pm b\right)}\)
Jak wiadomo \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} =2 ^{n}}\) dwa wyrazy z Dwumianu Newtona dla \(\displaystyle{ k=0}\) oraz \(\displaystyle{ k=n}\) przerzuciliśmy na lewa stronę równania stąd pozostało \(\displaystyle{ 2 ^{n} -2}\) składowych, które z powodu symetryczności podzielilismy przez \(\displaystyle{ 2}\) stad pozstało nam \(\displaystyle{ P\left( 2 ^{n-1} -1\right)=P _{0}}\) składowych \(\displaystyle{ P\left( a ^{n-2k \pm b ^{n-2k} } \right)}\) o stopniach \(\displaystyle{ P\left( n-2k\right) =P _{0}}\)
Warynek \(\displaystyle{ P\left( a ^{n} \pm b ^{n} \right)=P\left( a\pm b\right)}\) jest spełniony dla \(\displaystyle{ n=3}\) w wyrażeniu \(\displaystyle{ n+2}\) wystąpi nieparzysta ilość wyrażeń z \(\displaystyle{ n,n-2,n-4...}\) stąd dla dowolnego \(\displaystyle{ P\left( n\right) =P _{0}}\) wystapi nieparzysta ilość wyrazeń o stopniu parzystosci \(\displaystyle{ P\left( a \pm b\right)}\) stąd z A i B dla dowolnego \(\displaystyle{ P\left( n\right) =P _{0}}\) \(\displaystyle{ P\left( a ^{n} \pm b ^{n} \right)=P\left( a\pm b\right)}\)
Chyba trzeba by to indukcją - bedzie prościej