Formuła odwrotna dla funkcji multiplikatywnych

squared · Post autor: **squared** » 1 gru 2015, o 20:49

WIemy, że zachodzi

\(\displaystyle{ g(n)=\sum_{d|n}f(d) \Leftrightarrow f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g\left( \frac{n}{d}\right)}\)
Jeśli \(\displaystyle{ f,g}\) multiplikatywne. Mam pytanie, czy zawsze da się dla funkcji multiplikatywnej \(\displaystyle{ g}\) znaleźć tę funkcję \(\displaystyle{ f}\)?

Na przykład \(\displaystyle{ g(n)=n^3}\). Jak znaleźć \(\displaystyle{ f}\)? Albo dla \(\displaystyle{ \mu(n)?}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 2 gru 2015, o 09:00

Przecież sam napisałes wzór na \(\displaystyle{ f}\) po prawej stronie

squared · Post autor: **squared** » 2 gru 2015, o 12:05

No dobrze, ale masz np.

\(\displaystyle{ g(n)=n^3=\sum_{d|n}f(d)}\)

Ale nie masz \(\displaystyle{ f}\). Musisz ją znaleźć, zgadnąć. Więc się pytam, jak ją zgadnąć odnaleźci czy zawsze jest to możliwe.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 2 gru 2015, o 12:54

No to patrzysz na wzór i czytasz, że \(\displaystyle{ f(n) =\sum_{d|n} \mu(d) f(n/d)}\)

Zordon · Post autor: **Zordon** » 2 gru 2015, o 15:37

Wzór powyżej jest niepoprawny, powinno być \(\displaystyle{ \mu(d)}\)

squared · Post autor: **squared** » 2 gru 2015, o 16:42

Tak wiem, literówka, dziękuję. Czy ktoś zna odpowiedzi na moje pytania ?

Zordon · Post autor: **Zordon** » 2 gru 2015, o 19:45

Już została udzielona. Jeśli chodzi Ci o wzór jawny, to czasem istnieje, czasem nie. Nie ma reguły.

squared · Post autor: **squared** » 2 gru 2015, o 21:19

Dziękuję o taką konkretną odpowiedź mi chodziło . Dziękuję.