Udowodnić i rozwiązać: czy istnieją
a) liczby całkowite
b) liczby naturalne
c) liczby nieparzyste
\(\displaystyle{ x, y, z}\) takie, że \(\displaystyle{ (x+y)^2+ (y+z)^2 = (x+z)^2}\) ?
Pitagoras inaczej
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Pitagoras inaczej
Najpierw rozwiążmy równanie pitagorejskie diofantyczne a ono brzmi:
\(\displaystyle{ x+y=k^2-l^2}\)
\(\displaystyle{ y+z=2kl}\)
\(\displaystyle{ x+z=k^2+l^2}\)
teraz rozwiążmy powyższy układ równań co nie powinno przysporzyć trudności i otrzymamy:
\(\displaystyle{ x=k^2-kl=k(k-l)}\)
\(\displaystyle{ y=kl-l^2=l(k-l)}\)
\(\displaystyle{ z=l^2+kl=l(k+l)}\)
a teraz możliwa jest dyskusja!!!
Co do punktu a) rozwiązane,
co do punktu b):
\(\displaystyle{ k^2-kl \ge 0 \wedge kl-l^2 \ge 0}\)
lub:
\(\displaystyle{ k(k-l) \ge 0 \wedge l(k-l) \ge 0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ k \ge l \ge 0}\)
(dla mnie naturalne zaczynają się od zera)
co do punktu c)
wszystkie nieparzyste
Co chyba niemożliwe!!!
\(\displaystyle{ x+y=k^2-l^2}\)
\(\displaystyle{ y+z=2kl}\)
\(\displaystyle{ x+z=k^2+l^2}\)
teraz rozwiążmy powyższy układ równań co nie powinno przysporzyć trudności i otrzymamy:
\(\displaystyle{ x=k^2-kl=k(k-l)}\)
\(\displaystyle{ y=kl-l^2=l(k-l)}\)
\(\displaystyle{ z=l^2+kl=l(k+l)}\)
a teraz możliwa jest dyskusja!!!
Co do punktu a) rozwiązane,
co do punktu b):
\(\displaystyle{ k^2-kl \ge 0 \wedge kl-l^2 \ge 0}\)
lub:
\(\displaystyle{ k(k-l) \ge 0 \wedge l(k-l) \ge 0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ k \ge l \ge 0}\)
(dla mnie naturalne zaczynają się od zera)
co do punktu c)
wszystkie nieparzyste
Co chyba niemożliwe!!!