Suma odwrotności kolejnych liczb naturalnych

[Tristan]

Ostatnio natrafiłem na takie oto zadanie:
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ n>1}\), to liczba \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}}\) nie jest całkowita.

Poproszę o drobną wskazówkę

[kwadracik]

Jeśli mamy ochotę wytoczyć ciężką artylerię, to możemy to zadanie dość łatwo zrobić przy pomocy twierdzenia Czebyszewa [=postulatu Bertranda].

[mol_ksiazkowy]

mamy tu M jako nww liczb 1,...,n, niech k t ze \(\displaystyle{ 2^k q n 2^k}\)) sa parzyste , zas ten jeden (tj. dla \(\displaystyle{ j = 2^k}\)) jest nieparzysty, tj L tez . tak wiec iloraz L/M nie moze byc l. calkowita. ckd
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+ ....+\frac{1}{n}= \frac{L_1+....+L_n}{M} =\frac{L}{M}}\)

[Tristan]

Proszę o rozpisanie tego jak dla dziecka w przedszkolu. Znalazłem coś i widzę, że to co Ty napisałeś ma taką samą ideę jak te trzy zadania. Fakt, że \(\displaystyle{ M=NWW(1,2,3,...n)}\) jest nieparzystą wielokrotnością potęgi dwójki jest dla mnie jasny ( aczkolwiek z jakimś bardzo schludnym dowodem pewnie miałbym problem). Jednak tam zacinam się przy zadaniu drugim. Chodzi właśnie o parzystość liczników. Ja rozumiem to tak, że licznik będzie parzysty wtedy, gdy j będzie liczbą nieparzystą. A jednak z Twojego, chyba ciut innego, rozumowania wynika, że tylko jeden licznik jest liczbą nieparzystą. Prosiłbym więc o wyjaśnienia za które z góry dziękuję

[mol_ksiazkowy]

moze tak: \(\displaystyle{ M=m2^k}\), m jest niepazryste, ...dla j=1. .....n jest \(\displaystyle{ j=d2^l, \ \ l\leq k ,}\), d jest nieparzyste, tj. :
\(\displaystyle{ \frac{M}{j}=\frac{m}{d}2^{k-l} N}\), tj . \(\displaystyle{ \frac{m}{d}=c N}\),

\(\displaystyle{ \frac{1}{j}=\frac{c 2^{k-l}}{2^k cd}= \frac{L_j}{M}}\),
Istotnie, liczba Lj moze byc nieparzysta wtw, gdy k=l , ale wtedy musi byc d=1, (gdyz \(\displaystyle{ 2^k q n }\)