Dowód z liczbami naturalnymi

[annuaki]

Zbiór liczb naturalnych od 1 do 99 podzielono na 33 podzbiory 3-elementowe, parami rozłączne. W obrębie każdego z tych podzbiorów wymnożono trzy liczby i otrzymano w ten sposób 33 liczby \(\displaystyle{ b_{1}, b _{2},..., b_{33}}\). Udowodnić, że iloczyn pewnych spośród tych liczb jest kwadratem liczby naturalnej.

Jak zabrać się za takie zadanie?

[jutrvy]

Trąci zasadą szufladkową... Może warto rozważyć reszty z dzielenia przez jakąś liczbę?... Są jakieś twierdzenia, że jeśli liczba daje jakieśtam reszty z jakichśtam dzieleń, to jest kwadratem. Może tędy droga?...

[annuaki]

Mógłbyś jakoś przybliżyć te twierdzenia z których powinno się tutaj skorzystać?

[arek1357]

Mi się wydaje na chłopski rozum, że w tych iloczynach może być tylko 25 liczb pierwszych, czyli każda liczba będzie postaci:

\(\displaystyle{ x=2^{2x_{1}+i_{1}} \cdot 3^{2x_{2}+i_{2}} \cdot 5^{2x_{3}+i_{3}} \cdot ... \cdot 97^{2x_{25}+i_{25}} \cdot}\)

gdzie \(\displaystyle{ i_{j}=0 \vee 1}\)

możliwych reszt może być kombinacja \(\displaystyle{ 2^{25}}\)

a iloczynów więcej znaczy, że istnieją dwie kombinacje równych reszt, dla dwóch liczb \(\displaystyle{ x,y}\)

czyli jeśli podzielimy \(\displaystyle{ x:y=z}\),

reszty liczby zet się wyzerują i zostaną wtedy same kwadraty.
Taka moja wskazówka...

[norwimaj]

możliwych reszt może być kombinacja \(\displaystyle{ 2^{25}}\)

a iloczynów więcej znaczy, że istnieją dwie kombinacje równych reszt,

Wnikliwa analiza wykazała jednak, że \(\displaystyle{ 2^{25} > 33}\). Zatem upychając \(\displaystyle{ 33}\) iloczyny do \(\displaystyle{ 2^{25}}\) szuflad nie mamy pewności, że dwa iloczyny trafią do jednej szuflady.

istnieją dwie kombinacje równych reszt, dla dwóch liczb \(\displaystyle{ x,y}\)

czyli jeśli podzielimy \(\displaystyle{ x:y=z}\),

reszty liczby zet się wyzerują i zostaną wtedy same kwadraty.

Ale zbiór wybranych iloczynów nie musi być zamknięty na dzielenie.

[arek1357]

Hola Hola ale w zadaniu nie chodzi o

Udowodnić, że iloczyn pewnych spośród tych liczb jest kwadratem liczby naturalnej.

Według mnie w zadaniu chodzi o iloczyny \(\displaystyle{ b_{1}, b_{2},...}\)

A jest ich znacznie więcej niż 33 bo według wnikliwej analizy wychodzi, że:

\(\displaystyle{ 2^{33}-1}\)

[Kartezjusz]

Twój sposób nie uwzględnia, że iloczyny powtarzają

[norwimaj]

No to już zrozumiałem. Trzeba tylko zamienić dzielenie na mnożenie i na koniec pozbyć się duplikatów (o ile liczby w końcowym iloczynie nie mogą się powtarzać – inaczej zadanie byłoby zbyt proste). Na przykład jeśli z Zasady Szufladkowej otrzymamy liczby \(\displaystyle{ x=b_1\cdot b_4\cdot b_9}\) i \(\displaystyle{ y=b_3\cdot b_4\cdot b_{22}\cdot b_{23},}\) dające ten sam układ reszt, to iloczyn \(\displaystyle{ xy=b_3\cdot b_4^2\cdot b_9\cdot b_{22}\cdot b_{23}}\) jest kwadratem liczby naturalnej. Po pozbyciu się \(\displaystyle{ b_4^2}\) dostajemy iloczyn \(\displaystyle{ b_3\cdot b_9\cdot b_{22}\cdot b_{23},}\) który jest kwadratem liczby naturalnej.

[Ponewor]

Twój sposób nie uwzględnia, że iloczyny powtarzają

Ten przypadek się akurat na szczęście trywializuje, no nie?

Tu inne rozwiązanie: https://www.matematyka.pl/375764.htm

Co ciekawe, dwóch z wypowiadających się tutaj panów wypowiadało się również w zalinkowanym wątku, a zapomniało

[arek1357]

Dokładnie mój błąd był taki, że niepotrzebnie wziąłem dzielenie zamiast mnożenia, ale co tam...

a co do pierwotnych iloczynów oczywiście, że nie musi być nawet żaden kwadratem, wystarczy wziąć:

\(\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot 3, 4 \cdot 5 \cdot 6, 7 \cdot 8 \cdot 9,..., 97 \cdot 98 \cdot 99}\)

a tu niema żadnego kwadratu!