Dowód nierówności

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
annuaki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 20 paź 2015, o 20:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy

Dowód nierówności

Post autor: annuaki »

Udowodnić nierówność dla \(\displaystyle{ n \in N}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{1 ^{4} } +\frac{1}{2 ^{4} }+\frac{1}{3 ^{4} } + ... + \frac{1}{n ^{4} } \le 2 - \frac{1}{ \sqrt{n} }}\)

Jak się zabrać za takie zadanie?
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Dowód nierówności

Post autor: Zahion »

Indukcyjnie.
396817.htm#p5383107

Można też udowodnić tą nierówność ze średnich.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Dowód nierówności

Post autor: Premislav »

A mógłbyś dać wskazówkę do rozwiązania ze średnich? bo nie umiem.
Wydało się, że annuaki to moje multikonto (żard).
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Dowód nierówności

Post autor: Ponewor »

Rachunki przy tej indukcji mogą być dosyć uciążliwe. Można na przykład powołać się na \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}}\) i dalej szacować(zdaje się, że właśnie tak to robiłem w zeszłym roku na kolokwium).

W sumie to mało Ci się pewnie ta odpowiedź przyda, bo kolokwium do którego się przygotowywałeś miałeś wczoraj, ale piszę tu głównie dlatego, że też chciałbym zobaczyć te średnie.
ODPOWIEDZ