wyznacz p z nierówności

[Kamila]

Dla pewnej liczby \(\displaystyle{ p>1}\) i dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\),\(\displaystyle{ y}\) takich, że \(\displaystyle{ 1\leqslant{x}\leqslant{p}}\) i \(\displaystyle{ 2\leqslant{y}\leqslant4}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ 5-p\leqslant{xy}\leqslant12}\).
Wyznacz \(\displaystyle{ p}\).

[Tristan]

Mnożąc podane dwie nierówności otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 2 q xy q 4p}\). Stąd łatwy wniosek, że \(\displaystyle{ p=3}\), co spełnia założenia.

[Kamila]

A czy \(\displaystyle{ p=2}\) nie spełnia warunków?

[Sylwek]

Nie, kontrprzykład:
\(\displaystyle{ 5-p\leqslant{xy}\leqslant12 \\ 3\leqslant{xy}\leqslant12, \ x=1, \ y=2 \\ 3\leqslant 2 - \ sprzecznosc}\)

Spójrz:

\(\displaystyle{ 2 q xy q 4p}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}5-p qslant 2 p qslant 3 \\ (xy qslant 12 y qslant 4) 4x qslant 12 x qslant 3 p qslant 3 \end{cases} \\ (p qslant 3 p qslant 3) p \lbrace 3 \rbrace}\)

[Tristan]

Nie podoba mi się przedostatnia implikacja. Fakt, że \(\displaystyle{ x q p}\) i \(\displaystyle{ x q 3}\) nie pociąga za sobą, że \(\displaystyle{ p q 3}\).