Ciąg Fibonacciego - dowody

[patryk00714]

Witam

Zależy mi na dowodach niewykorzystujących zasady indukcji następujących równości:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kF_k=nF_{n+2}-F_{n+3}+2 \\}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} F_{n-k}=F_{2n}\\}\)
\(\displaystyle{ F_n= \sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor} {n -k\choose k-1}}\)

ta ostatnia równość często podawana jest jako definicja ciągu, jak do niej dojść z definicji rekurencyjnej?

pozdrawiam!

[patryk00714]

już sobie poradziłem. Wątek można usunąć