Cześć, ktoś z was wie może jak wyprowadzić ten wzór:
\(\displaystyle{ (x+y)^{n} = \sum_{i=0}^{n}\left({n\choose i} \cdot x^{n-i} \cdot y^{i} \right)}\)
??
Dzięki z góry za pomoc
suma n-tej potęgi dwóch liczb - dowód wzoru
- Michalinho
- Użytkownik
- Posty: 495
- Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 104 razy
suma n-tej potęgi dwóch liczb - dowód wzoru
Może zauważył to tak:
\(\displaystyle{ (x+y)^n=(x+y)\cdot(x+y)\cdot(x+y)\cdot...\cdot(x+y)}\) (\(\displaystyle{ n}\) nawiasów).
Teraz pomyślmy w jaki sposób możemy otrzymać \(\displaystyle{ y}\) w potędze \(\displaystyle{ k}\)-tej. Można to zrobić tak: wybieramy \(\displaystyle{ k}\) nawiasów z których będziemy mnożyć igreki, a z reszty nawiasów będziemy mnożyć iksy. Takiego wyboru możemy dokonać na \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) sposobów, a więc czynnik \(\displaystyle{ x^{n-k}\cdot y^k}\) pojawi się ze współczynnikiem \(\displaystyle{ {n\choose k}}\).
\(\displaystyle{ (x+y)^n=(x+y)\cdot(x+y)\cdot(x+y)\cdot...\cdot(x+y)}\) (\(\displaystyle{ n}\) nawiasów).
Teraz pomyślmy w jaki sposób możemy otrzymać \(\displaystyle{ y}\) w potędze \(\displaystyle{ k}\)-tej. Można to zrobić tak: wybieramy \(\displaystyle{ k}\) nawiasów z których będziemy mnożyć igreki, a z reszty nawiasów będziemy mnożyć iksy. Takiego wyboru możemy dokonać na \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) sposobów, a więc czynnik \(\displaystyle{ x^{n-k}\cdot y^k}\) pojawi się ze współczynnikiem \(\displaystyle{ {n\choose k}}\).
- pi0tras
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 7 lut 2011, o 16:41
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 91 razy
- Pomógł: 1 raz
suma n-tej potęgi dwóch liczb - dowód wzoru
A może znacie książkę w której te wyprowadzenie znajdę ??-- 9 lis 2015, o 18:00 --Posiedziałem trochę z tym sam, jestem na dobrym tropie. Niedługo wrzucę wyprowadzenie tego wzoru dla liczb dodatnich rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y}\)