suma n-tej potęgi dwóch liczb - dowód wzoru

[pi0tras]

Cześć, ktoś z was wie może jak wyprowadzić ten wzór:

\(\displaystyle{ (x+y)^{n} = \sum_{i=0}^{n}\left({n\choose i} \cdot x^{n-i} \cdot y^{i} \right)}\)

??

Dzięki z góry za pomoc

[leg14]

Indukcja

[pi0tras]

Indukcją można jedynie udowodnić, że to zachodzi ale mi chodzi o wyprowadzenie bo ktoś kto to wymyślił musiał to wyprowadzić : )

[leg14]

Strzelam, ze po prostu zauważył prawidłowość i zalozyl , ze zachodzi dla wszystkich n.

[pi0tras]

No też może być , ja nie zauważyłem jeszcze takiej prawidłowości XD

[matmatmm]

(...) bo ktoś kto to wymyślił musiał to wyprowadzić : )

Ten ktoś się nazywał Newton.

[Michalinho]

Może zauważył to tak:
\(\displaystyle{ (x+y)^n=(x+y)\cdot(x+y)\cdot(x+y)\cdot...\cdot(x+y)}\) (\(\displaystyle{ n}\) nawiasów).
Teraz pomyślmy w jaki sposób możemy otrzymać \(\displaystyle{ y}\) w potędze \(\displaystyle{ k}\)-tej. Można to zrobić tak: wybieramy \(\displaystyle{ k}\) nawiasów z których będziemy mnożyć igreki, a z reszty nawiasów będziemy mnożyć iksy. Takiego wyboru możemy dokonać na \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) sposobów, a więc czynnik \(\displaystyle{ x^{n-k}\cdot y^k}\) pojawi się ze współczynnikiem \(\displaystyle{ {n\choose k}}\).

[pi0tras]

A może znacie książkę w której te wyprowadzenie znajdę ??-- 9 lis 2015, o 18:00 --Posiedziałem trochę z tym sam, jestem na dobrym tropie. Niedługo wrzucę wyprowadzenie tego wzoru dla liczb dodatnich rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y}\)