Zastosowanie kongruencji do badania podzielności

[Poszukujaca]

Chciałabym się dowiedzieć, czy moja metoda rozwiązania poniższego zadania jest poprawna. W zbiorze zadań z teorii liczb na tym forum natknęłam się na takie samo zadanie, tylko tamto rozwiazanie mnie nie przekonuje.

Mam sprawdzić, czy liczba \(\displaystyle{ x= 6^{2003} -6}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\).

Wykorzystuję w tym celu jakże przydatną kongruencję.sprawdzenie podzielności przez dziesięć równa się ze zbadaniem reszty z dzielenia przez dziesięć danej liczby.

\(\displaystyle{ 6^{3} =_{10} 6}\) z prostego powodu \(\displaystyle{ 6^{3}=216 \Rightarrow 216 =_{10} 6}\)

\(\displaystyle{ x= 6^{2003}-6=6^{3} \cdot 6^{2000}-6 =_{10} 6 \cdot 6^{2000}-6}\)

Następnie kombinuję, by pozbyć się dużej potęgi.

\(\displaystyle{ 6 =_{10} 6^{3} \Rightarrow 6^{666} =_{10} 6^{1998}}\)

\(\displaystyle{ x= 6 \cdot 6^{2000} -6 =_{10} 6 \cdot 6^{666} -6}\)

I znowu \(\displaystyle{ 6 =_{10} 6^{3} \Rightarrow 6^{222} =_{10} 6^{666}}\)

\(\displaystyle{ x= 6 \cdot 6^{666}-6 =_{10} 6 \cdot 6^{222}-6 =_{10} 6 \cdot 6^{2} \cdot 6^{111} -6 =_{10} 6 \cdot 6^{2} \cdot 6^{12} \cdot 6^{12} -6}\)

Teraz zauważam, że \(\displaystyle{ 6 =_{10} 6^{2} =_{10} 6^{3}}\)
\(\displaystyle{ 6 =_{10} 6^{3} \Rightarrow 6^{37} =_{10} 6^{111}}\)
\(\displaystyle{ 6 =_{10} 6^{3} \Rightarrow 6^{10} =_{10} 6^{30}}\)

\(\displaystyle{ x= 6 \cdot (6^{3})^{37} -6 =_{10} 6 \cdot 6 \cdot 6^{37} -6 =_{10} 6^{2} \cdot 6^{30} \cdot 6^{7} -6 =_{10} 6 \cdot 6^{10} \cdot 6^{3} \cdot 6^{4} -6 =_{10} 6 \cdot (6^{2})^{5} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6^{3} -6 =_{10} 6 \cdot 6^{5} \cdot 6^{2} \cdot 6 -6 =_{10} 6 \cdot 6^{2} \cdot 6^{3} \cdot 6 \cdot 6 -6 =_{10} 6^{5} -6 =_{10} 6^{3} \cdot 6^{2} -6 =_{10} 6 \cdot 6 -6 =_{10} 0}\)

Czyli \(\displaystyle{ 10 | x}\).

Tak się tylko zastanawiam, czy jest potrzeba to wszystko rozpisywać, skoro wygląda na to, że każda potęga szóstki daje resztę z dzielenia przez 10 sześć, ponieważ na miejscu jedności zawsze występuje szóstka.

[kropka+]

ponieważ na miejscu jedności zawsze występuje szóstka.

Czyli \(\displaystyle{ 6 ^{2003}=10n+6. \ \ \ n \in N}\)

[Zahion]

Można indukcyjnie pokazać, że istnieje dla każdego \(\displaystyle{ n}\) takie \(\displaystyle{ k}\), ze
\(\displaystyle{ 6^{n} = 10k + 6}\), dla \(\displaystyle{ n = 1}\) mamy \(\displaystyle{ k = 0}\), a dalej mamy \(\displaystyle{ 6^{n+1} = 6^{n} \cdot 6 = 60k + 36 = 10\left( 6k + 3\right) + 6= 10k_{0} + 6}\), co kończy krok indukcyjny i dowodzi tezy.

[Poszukujaca]

Dziękuję za cenne uwagi.

Nie wystarczy stwierdzić na zasadzie obserwacji, że szóstka zawsze jest tutaj ostatnią cyfrą. Naszczęście indukcja matematyczna przychodzi z pomocą.

[Zahion]

Można też zauważyć, że \(\displaystyle{ 6^{2013} - 6 = 6\left( 6^{2012}-1\right)= 6\left( 6-1\right)\left( 6^{2012}+...1\right) = 30\left( 6^{2012}+...+1\right)}\)
Tak, korzystając z kongruencji, można tego dowieść ( zauważyć, jak kto woli ).

[Poszukujaca]

A z czego wynika ta równość?
\(\displaystyle{ 6^{2012}-1=(6-1)(6^{2012}+...+1)}\)

[Zahion]

Oczywiście powinno być \(\displaystyle{ 6^{2012} - 1 = \left( 6-1\right)\left( 6^{2011} + 6^{2010} + ... + 1\right)}\)
Wynika ze wzoru \(\displaystyle{ a^{n} - b^{n} = \left( a-b\right)\left( a^{n-1} + ... + 1\right)}\). Wystarczy wymnożyć i ładnie widać skąd ten wzór.