Czy istnieją liczby

[pokemmon_21]

Czy istnieją liczby rzeczywiste dadatnie x,y,z, że x+y+z = 6 oraz
a) xyz = 6
b) xyz = 9
c) xyz = 8
d) xyz = 7 ?

[Elvis]

a) Tak, np. 1, 2, 3
b) Nie istnieją, bo ich średnia geometryczna byłaby większa od arytmetycznej.
c) Tak, 2, 2, 2

[jovante]

d) tak

ogólnie istnieją liczby \(\displaystyle{ x,y,z R_{+} \hbox { ,dla których } x+y+z=6 \hbox { oraz } xyz=m \hbox { dla } m (0;8]}\)

[Tristan]

Można prosić o jakieś wyjaśnienia, najlepiej dowód jovante ?

[Rogal]

Nooo, z nierówności między średnimi, nie? : )

[Tristan]

Może ja czegoś nie rozumiem, ale moim zdaniem z nierówności między średnimi otrzymujemy jedynie, że maksymalną wartością, jaką może przyjmować m jest 8, a wartość m jest zawsze większa od zera. Ale to wcale jeszcze nie świadczy, że m przyjmuje wszystkie wartości pośrednie.

[TomciO]

No to wstaw sobie \(\displaystyle{ x=y}\) i dostajesz do zbadania funkcje \(\displaystyle{ 6x^2 - 2x^3}\) dla \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 3}\). Dla \(\displaystyle{ x=0}\) przyjmuje wartosc \(\displaystyle{ 0}\) a dla \(\displaystyle{ x=2}\) wartosc \(\displaystyle{ 8}\) czyli przyjmuje tez wszystkie posrednie wartosci (kazdy wielomian jest funkcja ciagla).

[jovante]

Dla \(\displaystyle{ m,x,y,z \in R_{+}}\) równanie \(\displaystyle{ xyz=m}\) przedstawia jedną powłokę hiperboloidy dwupowłokowej, której osią symetrii (przechodzącą przez ognisko) jest prosta \(\displaystyle{ t [1;1;1] \hbox{ dla } t \in R_{+}}\), do której to osi prostopadła jest rozważana płaszczyzna o równaniu \(\displaystyle{ x+y+z-6=0}\). W zależności od wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) hiperboloida ta ma z rozważaną płaszczyzną nieskończenie wiele punktów wspólnych, które układają się w okręgi \(\displaystyle{ (m \in (0;8))}\), dokładnie jeden punkt wspólny (dla płaszczyzny stycznej) \(\displaystyle{ {(m=8)}\) lub zero punktów wspólnych \(\displaystyle{ (m>8)}\).

[Tristan]

Dziękuję za wyjaśnienia

[Rogal]

A jak dla mnie, to wynika to z aksjomatu ciągłości zbioru R : )