równanie z liczbami pierwszymi
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: aaaaaaaaaaaa
- Podziękował: 20 razy
równanie z liczbami pierwszymi
Rozwiązać w liczbach pierwszych \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) równanie \(\displaystyle{ a-b=cd}\).
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
równanie z liczbami pierwszymi
Jedynie co można smiało wysnuć to to, że co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ b, c, d}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\). Już dla \(\displaystyle{ c = 2}\) mamy równanie \(\displaystyle{ a - b = 2d}\), co jest szczególnym przypadkiem uogólnionej hipotezy o liczbach blizniaczych, więc wątpie w rozwiązanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: aaaaaaaaaaaa
- Podziękował: 20 razy
równanie z liczbami pierwszymi
Zadanie ze strony Staszica, równanie w liczbach pierwszych: \(\displaystyle{ \frac{a}{b}- \frac{c}{d}=p}\).
Równoważnie: \(\displaystyle{ ad-bc=pbd}\), stąd \(\displaystyle{ b|ad}\) i \(\displaystyle{ d|bc}\), stąd \(\displaystyle{ (b=a \vee b=d) \wedge (d=b \vee d=c)}\). Teraz zakładamy, że \(\displaystyle{ b=d}\) (pozostałe możliwości łatwo można wyeliminować). Musimy więc teraz rozwiązać równanie \(\displaystyle{ a-c=pb}\)
Równoważnie: \(\displaystyle{ ad-bc=pbd}\), stąd \(\displaystyle{ b|ad}\) i \(\displaystyle{ d|bc}\), stąd \(\displaystyle{ (b=a \vee b=d) \wedge (d=b \vee d=c)}\). Teraz zakładamy, że \(\displaystyle{ b=d}\) (pozostałe możliwości łatwo można wyeliminować). Musimy więc teraz rozwiązać równanie \(\displaystyle{ a-c=pb}\)