Oblicz, jeżeli jest dane równanie

[favorite01997]

Witam!
Proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania:
Oblicz \(\displaystyle{ x^{3} + \frac{1}{ x^{3} }}\), jeżeli \(\displaystyle{ x^{2}+ \frac{1}{ x^{2} }=7}\)

[miodzio1988]

Wzór na sumę sześcianów się kłania

[favorite01997]

\(\displaystyle{ x^{3} + \left( \frac{1}{x} \right)^{3} = \left(x+ \frac{1}{x}\right) \cdot \left( x^{2}-1+ \frac{1}{ x^{2} } \right)}\)

[Zahion]

Ponadto \(\displaystyle{ \left( x + \frac{1}{x} \right)^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 = 9}\), więc masz już wartość \(\displaystyle{ x + \frac{1}{x}}\).
Proponuje zwrócić uwagę na dwa przypadki.

[favorite01997]

W takim razie: \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=3 \vee -3}\)
Więc otrzymuję kolejno:
\(\displaystyle{ 3 \cdot \left( x^{2}-1+ \frac{1}{ x^{2} } \right)=3 x^{2}-3+ \frac{3}{x ^{2} }}\)
lub
\(\displaystyle{ -3 \cdot \left( x^{2}-1+ \frac{1}{ x^{2} } \right)=-3x ^{2}+3- \frac{3}{ x^{2} }}\)

[Premislav]

Hę? Po co takie koszmarki? Doszedłeś samodzielnie do tej postaci:

\(\displaystyle{ x^{3} + \left( \frac{1}{x} \right)^{3} = \left(x+ \frac{1}{x}\right) \cdot \left( x^{2}-1+ \frac{1}{ x^{2} } \right)}\)

, z treści znasz wartość \(\displaystyle{ x^{2}+ \frac{1}{x^{2}}}\), a Zahion pokazał Ci, jak znaleźć możliwe wartości \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}}\). Podstawiasz i gotowe.

[favorite01997]

Już rozumiem, czyli:

Przypadek nr I:

\(\displaystyle{ x^{3}+ \left( \frac{1}{x} \right) ^{3} = 3 \cdot (7-1)=18}\)

Przypadek nr II:

\(\displaystyle{ x^{3}+ \left( \frac{1}{x} \right) ^{3} = -3 \cdot (7-1)=-18}\)

Zgadza się?

[Premislav]

Tak.