Wykazać że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left( { \frac{n}{e} } \right) ^n \le n! \le e \left( \frac{n}{2} \right) ^{n}}\)
gdzie e jest liczbą Eulera
Dowód z nierównościami, chyba najlepiej indukcją
Dowód z nierównościami, chyba najlepiej indukcją
Ostatnio zmieniony 28 paź 2015, o 20:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Powód: Skaluj nawiasy.
Dowód z nierównościami, chyba najlepiej indukcją
W pierwszej nierówności w momencie kiedy kiedy nie wiem czy wyrażenie \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{n+1} \right) ^{n}}\) mogę zapisać jako \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\).
Natomiast w drugiej, kiedy nie wiem jak rozbić ułamek \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{2} \right) ^{n}}\) tak aby uzyskać tam \(\displaystyle{ n+1}\).
Natomiast w drugiej, kiedy nie wiem jak rozbić ułamek \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{2} \right) ^{n}}\) tak aby uzyskać tam \(\displaystyle{ n+1}\).
Ostatnio zmieniony 28 paź 2015, o 20:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy. Poprawa wiadomości.
Powód: Skaluj nawiasy. Poprawa wiadomości.
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Dowód z nierównościami, chyba najlepiej indukcją
Jeżeli chodzi o drugą nierówność, widzę, że nie musi być indukcją. Mamy ze średnich :
\(\displaystyle{ n! \le \left( \frac{1+...+n}{n} \right) ^{n} = \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n} = \left( \frac{n+1}{n}\right)^{n} \cdot \left( \frac{n}{2} \right)^{n} \le e\left( \frac{n}{2} \right)^{n}}\)
\(\displaystyle{ n! \le \left( \frac{1+...+n}{n} \right) ^{n} = \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n} = \left( \frac{n+1}{n}\right)^{n} \cdot \left( \frac{n}{2} \right)^{n} \le e\left( \frac{n}{2} \right)^{n}}\)