Czy liczba jest kwadratem liczby całkowitej

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
pokemmon_21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 4 lip 2007, o 20:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wałbrzych

Czy liczba jest kwadratem liczby całkowitej

Post autor: pokemmon_21 »

Czy liczba jest kwadratem liczby całkowitej:
a)\(\displaystyle{ 3^{9}\cdot20^{7}\cdot27^{8}\cdot45^{9}}\)
b) \(\displaystyle{ 3^{6}\cdot20^{9}\cdot27^{7}\cdot45^{8}}\)
c) \(\displaystyle{ 3^{8}\cdot20^{6}\cdot27^{6}\cdot45^{7}}\)
d) \(\displaystyle{ 3^{7}\cdot20^{8}\cdot27^{9}\cdot45^{6}}\) ?
Jak można to szybko sprawdzić ? Z góry dziękuje za pomoc !
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

Czy liczba jest kwadratem liczby całkowitej

Post autor: Tristan »

Aby dana liczba była kwadratem liczby całkowitej to w przedstawieniu na iloczyn liczb pierwszych, każda z tych liczb pierwszych ma być w potędze parzystej. Dla przykładu a):
\(\displaystyle{ 3^9 20^7 27^8 45^9=3^9 ( 2^2 5)^7 (3^3)^8 (3^2 5)^9=3^9 2^{14} 5^7 3^{24} 3^{18} 5^9=3^{9+24+18} 2^{14} 5^{7+9}=2^{14} 3^{51} 5^{16}}\)
Ponieważ 3 jest w potędzie nieparzystej, więc ta liczba nie jest kwadratem liczby całkowitej.
Zauważ, że w przykładzie b) i c) piątka będzie w potędze nieparzystej. Jedynie w przykładzie d) dana liczba jest kwadratem liczby całkowitej.
ODPOWIEDZ