Czy liczba jest podzielna przez 9

[pokemmon_21]

Czy podana liczba jest podzielna przez 9
a) \(\displaystyle{ 7^{2007}-2007}\)
b) \(\displaystyle{ 7^{2008}-2008}\)
c) \(\displaystyle{ 7^{2006}-2006}\)
d) \(\displaystyle{ 7^{2005}-2005}\) ? Jak można to łatwo i szybko sprawdzić ?

[Kasiula@]

Wydaje mi się,że najłatwiej sprawdzic za pomocą przystawania do 0 modulo 9,czyli,np w a) trzeba spr,czy zachodzi:
\(\displaystyle{ 7^{2007}-2007 \equiv 0 (mod9)}\)
Jeśli zachodzi tzn,że \(\displaystyle{ 7^{2007}-2007}\) jest podzielne przez 9.
Taj samo pozostałe.

[jovante]

Wystarczy zauważyć, że dla \(\displaystyle{ k N \cup \{0\}}\):

liczba postaci \(\displaystyle{ 7^{3k} \ mod \ 9 = 1}\)
liczba postaci \(\displaystyle{ 7^{3k+1} \ mod \ 9 = 7}\)
liczba postaci \(\displaystyle{ 7^{3k+2} \ mod \ 9 = 4}\)


\(\displaystyle{ 7^{2007}=7^{3\cdot 669} \ mod \ 9 =1}\)
\(\displaystyle{ 7^{2008}=7^{3\cdot 669 +1} \ mod \ 9 =7}\)
\(\displaystyle{ 7^{2006}=7^{3\cdot 668+2} \ mod \ 9 =4}\)
\(\displaystyle{ 7^{2005}=7^{3\cdot 668+1} \ mod \ 9 =7}\)

\(\displaystyle{ 2007=9\cdot 223 \ mod \ 9 =0}\)
\(\displaystyle{ 2008=9\cdot 223+1 \ mod \ 9 =1}\)
\(\displaystyle{ 2006=9\cdot 222+8 \ mod \ 9 =8}\)
\(\displaystyle{ 2005=9\cdot 222+7 \ mod \ 9 =7}\)

zatem tylko \(\displaystyle{ 7^{2005}-2005}\) dzieli się przez 9.