Czy podana liczba jest podzielna przez 9
a) \(\displaystyle{ 7^{2007}-2007}\)
b) \(\displaystyle{ 7^{2008}-2008}\)
c) \(\displaystyle{ 7^{2006}-2006}\)
d) \(\displaystyle{ 7^{2005}-2005}\) ? Jak można to łatwo i szybko sprawdzić ?
Czy liczba jest podzielna przez 9
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 4 lip 2007, o 20:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wałbrzych
-
- Użytkownik
- Posty: 145
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Podlasie
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 27 razy
Czy liczba jest podzielna przez 9
Wydaje mi się,że najłatwiej sprawdzic za pomocą przystawania do 0 modulo 9,czyli,np w a) trzeba spr,czy zachodzi:
\(\displaystyle{ 7^{2007}-2007 \equiv 0 (mod9)}\)
Jeśli zachodzi tzn,że \(\displaystyle{ 7^{2007}-2007}\) jest podzielne przez 9.
Taj samo pozostałe.
\(\displaystyle{ 7^{2007}-2007 \equiv 0 (mod9)}\)
Jeśli zachodzi tzn,że \(\displaystyle{ 7^{2007}-2007}\) jest podzielne przez 9.
Taj samo pozostałe.
-
- Użytkownik
- Posty: 204
- Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedlce
- Pomógł: 56 razy
Czy liczba jest podzielna przez 9
Wystarczy zauważyć, że dla \(\displaystyle{ k N \cup \{0\}}\):
liczba postaci \(\displaystyle{ 7^{3k} \ mod \ 9 = 1}\)
liczba postaci \(\displaystyle{ 7^{3k+1} \ mod \ 9 = 7}\)
liczba postaci \(\displaystyle{ 7^{3k+2} \ mod \ 9 = 4}\)
\(\displaystyle{ 7^{2007}=7^{3\cdot 669} \ mod \ 9 =1}\)
\(\displaystyle{ 7^{2008}=7^{3\cdot 669 +1} \ mod \ 9 =7}\)
\(\displaystyle{ 7^{2006}=7^{3\cdot 668+2} \ mod \ 9 =4}\)
\(\displaystyle{ 7^{2005}=7^{3\cdot 668+1} \ mod \ 9 =7}\)
\(\displaystyle{ 2007=9\cdot 223 \ mod \ 9 =0}\)
\(\displaystyle{ 2008=9\cdot 223+1 \ mod \ 9 =1}\)
\(\displaystyle{ 2006=9\cdot 222+8 \ mod \ 9 =8}\)
\(\displaystyle{ 2005=9\cdot 222+7 \ mod \ 9 =7}\)
zatem tylko \(\displaystyle{ 7^{2005}-2005}\) dzieli się przez 9.
liczba postaci \(\displaystyle{ 7^{3k} \ mod \ 9 = 1}\)
liczba postaci \(\displaystyle{ 7^{3k+1} \ mod \ 9 = 7}\)
liczba postaci \(\displaystyle{ 7^{3k+2} \ mod \ 9 = 4}\)
\(\displaystyle{ 7^{2007}=7^{3\cdot 669} \ mod \ 9 =1}\)
\(\displaystyle{ 7^{2008}=7^{3\cdot 669 +1} \ mod \ 9 =7}\)
\(\displaystyle{ 7^{2006}=7^{3\cdot 668+2} \ mod \ 9 =4}\)
\(\displaystyle{ 7^{2005}=7^{3\cdot 668+1} \ mod \ 9 =7}\)
\(\displaystyle{ 2007=9\cdot 223 \ mod \ 9 =0}\)
\(\displaystyle{ 2008=9\cdot 223+1 \ mod \ 9 =1}\)
\(\displaystyle{ 2006=9\cdot 222+8 \ mod \ 9 =8}\)
\(\displaystyle{ 2005=9\cdot 222+7 \ mod \ 9 =7}\)
zatem tylko \(\displaystyle{ 7^{2005}-2005}\) dzieli się przez 9.