Czy taka nierówność zachodzi ? Udowodnić

[pi0tras]

Cześć wam, mam pewną nierówność do udowodnienia jednakże nie umiem sobie z tym poradzić, podobno dla każdego \(\displaystyle{ n \ge n_{0}}\) gdzie \(\displaystyle{ n, n_{0} \in N}\) można znaleźć \(\displaystyle{ k \in N}\) takie, że :


\(\displaystyle{ \sqrt{n} \le 2^{2^{k}} \le n \le 2^{2^{k+1}} \le n^{2}}\).

Mile widziane wskazówki, porady, rozwiązania

[bartek118]

Zlogarytmuj obustronnie tę nierówność. Do tego spostrzeżenie, że pomiędzy liczbą, a jej dwukrotnością (od pewnego miejsca) będzie potęga dwójki.

[AdamL]

Zapisz n w systemie dwójkowym. Funkcja sufit z logarytmu o podstawie 2 liczby \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) jest ilością jej cyfr. Podobnie dla \(\displaystyle{ n^2}\). Zastosuj fakt, że \(\displaystyle{ log n^a = a log n}\). Zastanów się co się dzieje z liczbą zapisaną w systemie dwójkowym, jeśli przemnożysz ją przez 2. Odpowiedź wówczas powinna być oczywista.