Czy istnieje liczba

[pokemmon_21]

Czy istnieje liczba całkowita, której kwadrat jest podzielny przez a, ale nie jest podzielny przez b, jeżeli:
a) a = 6, b = 9
b) a = 15, b = 50
c) a = 18, b = 27
d) a = 54, b = 12

[Lorek]

a) nie
b) tak (15)
c) tak (6)
d) nie
Wyjaśnienie na przykładzie: jeżeli liczba p, będąca kwadratem jakiejś liczby całkowitej jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6=2\cdot 3}\) to p jest także podzielna przez \(\displaystyle{ 2^2\cdot 3^2=36}\) a skoro \(\displaystyle{ 9|36}\) to i \(\displaystyle{ 9|p}\)
dla d) byłoby: \(\displaystyle{ 54=2\cdot 3^3}\) czyli p jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2^2\cdot 3^4}\) ("zwiększamy" potęgi do najbliższej l. parzystej)

[Kasiula@]

Wydaje mi się,że najprościej będzie spr czy istnieje taka liczba całkowita x dla której zachodzi \(\displaystyle{ x^{2}\equiv 0(mod \ a)}\),nastepnie spr,czy b dzieli otrzymane rozwiązanie.
Np. (a)
(1)
\(\displaystyle{ x^{2} \equiv 0 (mod6)}\)
\(\displaystyle{ x \equiv 0 (mod6) x=6k}\),gdzie \(\displaystyle{ k Z}\)
(2)
\(\displaystyle{ x^{2}=36k^{2}}\)
Odrazu widać,że \(\displaystyle{ 9|36k^{2}}\),bo \(\displaystyle{ 9|36}\)
Czyli nie istnieje taki x,który by spełniał podane warunki.