Równanie diofantyczne z kwadratami

[Poszukujaca]

Mam rozwiązać dosyć nietypowe równanie diofantyczne..

\(\displaystyle{ x^{2}+2y^{2}=7x}\)

Wiadome jest, że \(\displaystyle{ x> 0}\), bo lewa strona równania jest większa od zera dla wszystkich \(\displaystyle{ x, y \in \ZZ}\).

Próbuję rozpisać według wzorów skróconego mnożenia i otrzymać iloczyn czynników, który pozwoliłby mi na rozpatrzenie przypadków. Jednak nie potrafię dobrać stosownych przekształceń.

[liu]

\(\displaystyle{ x^2 > 7x}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\).

[arek1357]

Wykresem tego jest elipsa iksy które leżą wewnątrz tej elipsy to:

\(\displaystyle{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}\)

wystarczy podstawić i sprawdzić

[Poszukujaca]

Nie domyśliłam się, że to elipsa.. Faktycznie!

Równanie elipsy podaje się zwykle tak: \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}=1}\)
A to tylko jeden z przypadków, kiedy ogniska elipsy to \(\displaystyle{ (-c,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,c)}\)

Jak zatem wygląda jakieś takie ogólniejsze równanie elipsy? Jak znaleźć ogniska tej właśnie elipsy?

[a4karo]

Wiadome jest, że \(\displaystyle{ x> 0}\), bo lewa strona równania jest większa od zera dla wszystkich \(\displaystyle{ x, y \in \ZZ.}\)

To chyba nieprawda

[Poszukujaca]

a4karo, dlaczego? Przecież mamy sumę kwadratów liczb.

Chyba, że chodziło o to, że miałam napisać nierówność nieostrą..

[a4karo]

NIe. chodzi o to, że zero też jest całkowite

[Poszukujaca]

Po sprostowaniu powinnam napsiać:

Wiadome jest, że lewa strona jest większa bądź równa zero, bo \(\displaystyle{ x,y \in \ZZ}\), więc \(\displaystyle{ x \ge 0}\)

[a4karo]

Ano tak właśnie

[Poszukujaca]

Precyzja jakże ważna.

A co z ogniskami elipsy? Jak je wyznaczyć?

W sumie to intuicyjnie znalazłam rozwiązania.. są to pary \(\displaystyle{ (6,2), (6,-2), (7,0), (0,0)}\).
Tylko nie wiem,czy to wszystkie możliwe.

Zastanawia mnie jednak ta elipsa..

[Premislav]

A pamiętasz może, jak wygląda równanie elipsy?
Twoje równanie można zapisać jako \(\displaystyle{ x^{2}-7x+2y^{2}=0}\). Spróbuj dodać do obu stron taką liczbę, by dopełnić \(\displaystyle{ x^{2}-7x}\) do kwadratu różnicy. Wtedy środek elipsy masz już za darmochę, a trochę dalszych przekształceń pozwoli Ci odczytać długości półosi elipsy. No a ogniska będą leżały, jak widać, na osi \(\displaystyle{ OX}\) i z tego oraz ze znajomości środka elipsy można będzie je wyliczyć (tzn. ich współrzędne).

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ x^{2}-7x+2y^{2}=0}\)

\(\displaystyle{ \left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}+2y^{2}=\frac{49}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{(x-\frac{7}{2})^{2}}{\frac{49}{4}}+\frac{y^{2}}{\frac{49}{8}}=1}\)

Zatem mam wyliczone \(\displaystyle{ a, b}\):
\(\displaystyle{ a= \frac{7}{2}}\)
\(\displaystyle{ b = \frac{7}{2\sqrt{2}}}\)

środek elipsy to \(\displaystyle{ (\frac{7}{2},0)}\)

[a4karo]

Teraz wyznacz dlugosci półosi, a z nich ogniska

[Poszukujaca]

Długość osi wielkiej to \(\displaystyle{ 2a}\) czyli \(\displaystyle{ 7}\), a osi małęj \(\displaystyle{ 2b}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{7}{\sqrt{2}}}\).

Tylko za nic w świecie nie mogę znaleźć, jak wyznaczyć środki ognisk.

[a4karo]

W definicji elipsy