Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi
Mam do rozwiązania takie oto równanie diofantyczne liniowe:
\(\displaystyle{ 12x+15y+7z=11}\)
Kombinując z pomocniczą niewiadomą..
\(\displaystyle{ 3(4x+5y)+7z=11}\)
\(\displaystyle{ w=4x+5y}\)
Teraz mam: \(\displaystyle{ 3w+7z=11}\)
\(\displaystyle{ NWD(3,7)=1 \Rightarrow 1|11 \Rightarrow}\) równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań
Przykładowe rozwiązanie łątwo odgadnąć:
\(\displaystyle{ \begin{cases} w=-1 \\ z=2 \end{cases}}\)
A ogólne rozwiązanie otrzymamy z równania jednorodnego: \(\displaystyle{ 3w+7z=0}\)
\(\displaystyle{ 3w=-7z}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} w=7k \\ z=-3k \end{cases}}\)
więc ogólne rozwiązanie równania z pomocniczą niewiadomą to: \(\displaystyle{ \begin{cases} w=-1+7k \\ z=2-3k \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)
Tylko co dalej?
\(\displaystyle{ 12x+15y+7z=11}\)
Kombinując z pomocniczą niewiadomą..
\(\displaystyle{ 3(4x+5y)+7z=11}\)
\(\displaystyle{ w=4x+5y}\)
Teraz mam: \(\displaystyle{ 3w+7z=11}\)
\(\displaystyle{ NWD(3,7)=1 \Rightarrow 1|11 \Rightarrow}\) równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań
Przykładowe rozwiązanie łątwo odgadnąć:
\(\displaystyle{ \begin{cases} w=-1 \\ z=2 \end{cases}}\)
A ogólne rozwiązanie otrzymamy z równania jednorodnego: \(\displaystyle{ 3w+7z=0}\)
\(\displaystyle{ 3w=-7z}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} w=7k \\ z=-3k \end{cases}}\)
więc ogólne rozwiązanie równania z pomocniczą niewiadomą to: \(\displaystyle{ \begin{cases} w=-1+7k \\ z=2-3k \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)
Tylko co dalej?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi
to co sama stworzyłaś:
\(\displaystyle{ -1+7k=4x+5y}\)
--------------------------
szczególne:
\(\displaystyle{ x=1+3k}\)
\(\displaystyle{ y=-1-k}\)
---------------------------------
ogólne:
\(\displaystyle{ x=5l}\)
\(\displaystyle{ y=-4l}\)
---------------------------------
razem:
\(\displaystyle{ x=1+3k+5l}\)
\(\displaystyle{ y=-1-k-4l}\)
\(\displaystyle{ z=2-3k}\)
Podstaw dodaj i wyjdzie!
\(\displaystyle{ -1+7k=4x+5y}\)
--------------------------
szczególne:
\(\displaystyle{ x=1+3k}\)
\(\displaystyle{ y=-1-k}\)
---------------------------------
ogólne:
\(\displaystyle{ x=5l}\)
\(\displaystyle{ y=-4l}\)
---------------------------------
razem:
\(\displaystyle{ x=1+3k+5l}\)
\(\displaystyle{ y=-1-k-4l}\)
\(\displaystyle{ z=2-3k}\)
Podstaw dodaj i wyjdzie!
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi
A w jaki sposób wyliczyłeś \(\displaystyle{ x, y}\) po podstawienieniu zarówno szczególnie jak i ogólnie?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi
szczególne metodą na macajewa a ogólne tak samo jak i Ty na początku.
W sumie zrobiłem to samo co Ty ja się nauczyłem od Ciebie!
W sumie zrobiłem to samo co Ty ja się nauczyłem od Ciebie!
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi
Są przykłady, że metoda na macajewa zajmuje bardzo dużo czasu, wiec dobrze byłoby mieć jakieś inne narzędzie do znajdowania rozwiązań szczególnych.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi
Metodzie na Macajewa pomaga tak zwana intuicja i przewidywanie matematyczne, czyli tak zwane działania nieszablonowe, które bardzo się przydają.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi
arek1357, no tak. Tylko co w przypadku, gdybyśmy naprawdę nie potrafili odgadnąć intuicyjnie?
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy