Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: Poszukujaca »

Mam do rozwiązania takie oto równanie diofantyczne liniowe:
\(\displaystyle{ 12x+15y+7z=11}\)

Kombinując z pomocniczą niewiadomą..

\(\displaystyle{ 3(4x+5y)+7z=11}\)
\(\displaystyle{ w=4x+5y}\)

Teraz mam: \(\displaystyle{ 3w+7z=11}\)
\(\displaystyle{ NWD(3,7)=1 \Rightarrow 1|11 \Rightarrow}\) równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań

Przykładowe rozwiązanie łątwo odgadnąć:
\(\displaystyle{ \begin{cases} w=-1 \\ z=2 \end{cases}}\)
A ogólne rozwiązanie otrzymamy z równania jednorodnego: \(\displaystyle{ 3w+7z=0}\)
\(\displaystyle{ 3w=-7z}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} w=7k \\ z=-3k \end{cases}}\)
więc ogólne rozwiązanie równania z pomocniczą niewiadomą to: \(\displaystyle{ \begin{cases} w=-1+7k \\ z=2-3k \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)

Tylko co dalej?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: arek1357 »

to co sama stworzyłaś:

\(\displaystyle{ -1+7k=4x+5y}\)

--------------------------
szczególne:

\(\displaystyle{ x=1+3k}\)

\(\displaystyle{ y=-1-k}\)

---------------------------------
ogólne:

\(\displaystyle{ x=5l}\)

\(\displaystyle{ y=-4l}\)

---------------------------------
razem:

\(\displaystyle{ x=1+3k+5l}\)

\(\displaystyle{ y=-1-k-4l}\)

\(\displaystyle{ z=2-3k}\)

Podstaw dodaj i wyjdzie!
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: Poszukujaca »

A w jaki sposób wyliczyłeś \(\displaystyle{ x, y}\) po podstawienieniu zarówno szczególnie jak i ogólnie?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: arek1357 »

szczególne metodą na macajewa a ogólne tak samo jak i Ty na początku.

W sumie zrobiłem to samo co Ty ja się nauczyłem od Ciebie!
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: Poszukujaca »

Są przykłady, że metoda na macajewa zajmuje bardzo dużo czasu, wiec dobrze byłoby mieć jakieś inne narzędzie do znajdowania rozwiązań szczególnych.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: arek1357 »

Metodzie na Macajewa pomaga tak zwana intuicja i przewidywanie matematyczne, czyli tak zwane działania nieszablonowe, które bardzo się przydają.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: Poszukujaca »

arek1357, no tak. Tylko co w przypadku, gdybyśmy naprawdę nie potrafili odgadnąć intuicyjnie?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: arek1357 »

Jeżeli nie potrafiłbym intuicyjnie to bym się podał do dymisji.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: Poszukujaca »



Ale.. myślę, że istnieje sposób nieintuicyjny..
ODPOWIEDZ