Pierwiastek kwadratów sumy a suma pierwiastków kwadratów

[Bandysc]

Cześć, mam taką nierówność:

\(\displaystyle{ \sqrt{ (\sum_{k=1}^{n} a_k)^2 + (\sum_{k=1}^{n} b_k)^2 } \le \sum_{k=1}^{n} ( \sqrt{a_k^2 + b_k ^ 2} )}\)

Ma ktoś na to jakiś pomysł? Z góry dziękuję za odpowiedź.

[Premislav]

Cześć,
możesz podnieść na pałę stronami do kwadratu, poredukować w pamięci i zostanie coś na kształt
\(\displaystyle{ \sum_{1 \le k<l \le n}^{} \sqrt{a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}\sqrt{a_{l}^{2}+b_{l}^{2}} \ge \sum_{1 \le k<l \le n}^{}a_{k}a_{l}+\sum_{1 \le k<l \le n}^{}b_{k}b_{l}}\)
a to jest \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) zsumowanych nierówności Cauchy'ego-Schwarza dla odpowiednich wektorów (jakich?). A nawet nie, bo w Schwarzu byłyby moduły, ale masz:
\(\displaystyle{ \sum_{1 \le k<l \le n}^{} \sqrt{a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}\sqrt{a_{l}^{2}+b_{l}^{2}} \ge \sum_{1 \le k<l \le n}^{}|a_{k}||a_{l}|+\sum_{1 \le k<l \le n}^{}|b_{k}||b_{l}| \ge\\ \ge \sum_{1 \le k<l \le n}^{}a_{k}a_{l}+\sum_{1 \le k<l \le n}^{}b_{k}b_{l}}\)
(pierwsza nierówność to te zsumowane Schwarze, a druga wynika z tego, ze dla dowolnej liczby rzeczywistej jej moduł jest od niej nie mniejszy).
Wydaje mi się, że można by też od razu powołać się na jakąś znaną nierówność, ale ja nie widzę, na jaką.

[a4karo]

Pomysł jaka jest interpretacja geometryczna tego zadania. Zobaczysz, że nie ma czego dowodzić (możesz przyjąć ć, że wszystkie liczby są dodatnie, choć nie jest to konieczne)