Dowód na podstawie własności kongruencji

[insanis]

Mam do udowodnienia, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi :

\(\displaystyle{ 19|(5^{2n+3}+3^{n+3} 2^{n})}\)

Znalazłem na forum podobny przykład ale nie do końca go rozumiem. Trzeba było pokazać, że poniższe wyrażenie jest podzielne przez 13.

\(\displaystyle{ 1+3^{3n+1}+9^{3n+1} \equiv 1+3\cdot 3^{3n} + 9\cdot 9^{3n} \equiv 1+3\cdot 27^n + 9\cdot 27^{2n} \equiv 1+3\cdot 1 + 9\cdot 1 \equiv 13\equiv 0\pmod{13}}\)

Dlaczego zamiast \(\displaystyle{ 27^{n}}\) i \(\displaystyle{ 27^{2n}}\) piszemy jedynki ?

Idąc tą metodą spróbowałem zrobić swój przykład ale nie wiem czy jest dobrze... Proszę o wytłumaczenie i korektę


\(\displaystyle{ 5^{2n+3}+3^{n+3}2^{n} \equiv 125 \cdot 5^{2n} + 27 \cdot 3^{n} \cdot 2^{n} \equiv 125 \cdot 25^{n}+27 \cdot 3^{n} \cdot 2^{n} \pmod{19} \equiv}\)

[kerajs]

Dlaczego zamiast \(\displaystyle{ 27^{n}}\) i \(\displaystyle{ 27^{2n}}\) piszemy jedynki ?

\(\displaystyle{ 27^{n}\pmod{13}=(2 \cdot 13+1)^{n}\pmod{13} \equiv 1^{n} \pmod{13}\equiv 1}\)
Pewnie wiesz że reszty można mnożyć.

Twój przykład:

\(\displaystyle{ 125 \cdot 25^{n}+27 \cdot 3^{n} \cdot 2^{n} \pmod{19} \equiv \left[ (6 \cdot 19+11) \cdot (19+6)^{n}+(19+8) \cdot 6^{n}\right] \pmod{19} \equiv \\
\equiv \left[ 11 \cdot 6^{n}+8 \cdot 6^{n}\right] \pmod{19} \equiv 19 \cdot 6^{n} \pmod{19}\equiv0}\)