Wykaż, że liczby są wymierne

[Dario1]

Wykaż, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b, \sqrt{a}+ \sqrt{b} \in Q}\) to liczby\(\displaystyle{ \sqrt{a}, \sqrt{b} \in Q}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego dowodu:

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ a= \frac{p}{q},b= \frac{m}{n}, \sqrt{ \frac{p}{q} }+ \sqrt{ \frac{m}{n} }= \frac{s}{t}}\),gdzie \(\displaystyle{ a,b,m,n,s,t \in Z}\). Podnieśmy równość \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{p}{q} }+ \sqrt{ \frac{m}{n} }= \frac{s}{t}}\) do kwadratu, otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{p}{q}+2 \sqrt{ \frac{pm}{qn} }+ \frac{m}{n}= \frac{s ^{2} }{t ^{2} }}\). Dalej mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{pm}{qn} }= \frac{s ^{2} }{2t ^{2} }- \frac{m}{2n}- \frac{p}{2q}}\). Prawa strona jest wymierna, oznaczmy ją przez \(\displaystyle{ \frac{a}{b},a,b \in Q}\).Mamy
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{p}{q} }\sqrt{ \frac{m}{n} }= \frac{a}{b} \Leftrightarrow \sqrt{ \frac{p}{q} }=\frac{a}{b}\sqrt{ \frac{n}{m} }}\). Mamy też \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{p}{q} }= \frac{s}{t}-\sqrt{ \frac{m}{n} }}\).Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{s}{t}-\sqrt{ \frac{m}{n} }- \frac{a}{b}\sqrt{ \frac{n}{m}}\). Mnożymy razy \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{m}{n} }}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \frac{s}{t} \sqrt{ \frac{m}{n} }- \frac{m}{n}- \frac{a}{b} \cdot 1=0}\). Czyli:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{m}{n}}= \frac{t}{s}\left( \frac{m}{n}+ \frac{a}{b} \right)}\). Prawa strona należy do wymiernych zatem lewa też. Rozumowanie dla \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{p}{q} }}\) jest analogiczne.


Zgadza się?

Jeśli można to zadanie zrobić inaczej proszę o komentarz.

[bosa_Nike]

Jeżeli \(\displaystyle{ a=b=0}\), to sprawa jest oczywista. Jeżeli nie, to \(\displaystyle{ \sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\in\mathbb{Q}}\).

[a4karo]

Prawa strona jest wymierna, oznaczmy ją przez \(\displaystyle{ \frac{a}{b},a,b \in Q}\).Mamy

Nie wolno użyc \(\displaystyle{ a,b}\) bo oznaczaja one już coś innego. Poza tym jak już używasz tego przedstawienia, to \(\displaystyle{ a,b\in \ZZ}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{s}{t}-\sqrt{ \frac{m}{n} }- \frac{a}{b}\sqrt{ \frac{n}{m}.}\)

Czegoś tu brak.

Zauważ, że nigdzie nie wykorzystywałeś przedstawień postaci \(\displaystyle{ m/n, p/q, s/t}\), wystarczyło zatem napisać np \(\displaystyle{ p,q,r}\) i pamietać, że są one wymierne.

[Dario1]

Bosa Nike- ale my nie mamy udowadniać, że \(\displaystyle{ \sqrt{a}-\sqrt{b}\in\mathbb{Q}}\), tylko, że \(\displaystyle{ \sqrt{a}\in\mathbb{Q}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{b}\in\mathbb{Q}}\), a to z tego chyba nie wynika...

a4karo- Zgadza się, użycie literek a i b było nieprawidłowe.

\(\displaystyle{ \frac{s}{t}-\sqrt{ \frac{m}{n} }- \frac{a}{b}\sqrt{ \frac{n}{m}}\)

A czego Twoim zdaniem brakuje tutaj?

Co do przedstawień w postaci ułamków to może i prawda, że nie wykorzystywałem, ale to chyba nie jest błąd?

[karolex123]

Ależ wynika- skoro liczby \(\displaystyle{ \sqrt{a}+ \sqrt{b}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{a}- \sqrt{b}}\) są wymierne, to ich suma także jest wymierna (łatwo to pokazać).

[Dario1]

Karolex zgadza się. Suma i różnica wymiernych da wymierność.

Ale tak jak zrobiłem jest źle czy nie?

[Zahion]

Tak jak Pan a4karo napisał w równaniu \(\displaystyle{ \frac{s}{t}-\sqrt{ \frac{m}{n} }- \frac{a}{b}\sqrt{ \frac{n}{m}}\) czegoś brak.
Wracając do poprawności.

\(\displaystyle{ \frac{s}{t}-\sqrt{ \frac{m}{n} }- \frac{a}{b}\sqrt{ \frac{n}{m}}\). Mnożymy razy \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{m}{n} }}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \frac{s}{t} \sqrt{ \frac{m}{n} }- \frac{m}{n}- \frac{a}{b} \cdot 1=0}\). Czyli:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{m}{n}}= \frac{t}{s}\left( \frac{m}{n}+ \frac{a}{b} \right)}\). Prawa strona należy do wymiernych zatem lewa też.

Reasumując, pomnożyłeś jakąs liczbę przez jakąś liczbę otrzymując liczbę wymierną. Mnożąc liczbę niewymierną przez niewymierną również otrzymamy liczbę wymierną. Dużo tutaj nieścisłości.

[a4karo]

Wracając do poprawności.

\(\displaystyle{ \frac{s}{t}-\sqrt{ \frac{m}{n} }- \frac{a}{b}\sqrt{ \frac{n}{m}}\). Mnożymy razy \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{m}{n} }}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \frac{s}{t} \sqrt{ \frac{m}{n} }- \frac{m}{n}- \frac{a}{b} \cdot 1=0}\). Czyli:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{m}{n}}= \frac{t}{s}\left( \frac{m}{n}+ \frac{a}{b} \right)}\). Prawa strona należy do wymiernych zatem lewa też.

Reasumując, pomnożyłeś jakąs liczbę przez jakąś liczbę otrzymując liczbę wymierną. Mnożąc liczbę niewymierną przez niewymierną również otrzymamy liczbę wymierną. Dużo tutaj nieścisłości.

Tu akurat rozumowanie jest OK, choć można było wyliczyć ten pierwiastek bez mnożenia.

Dowód powinien być maksymalnie przejrzysty, więc naduzywanie symboli - choć nie jest błędem - jest grzechem.

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ \frac{s}{t}-\sqrt{\frac{m}{n}}-\frac{a}{b}\sqrt{\frac{n}{m}}{\red{=0}}}\)

Tego brak.

@Zahion
Dobrze zrobił. Dzięki mnożeniu pozostał jeden pierwiastek zamiast dwóch i można go było wyizolować po jednej stronie równania.