Udowodnij zawieranie
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
Udowodnij zawieranie
Niech \(\displaystyle{ A=\left\{ x:x=a+b \sqrt[3]{2}+c \sqrt[3]{4},a,b,c \in Q \right\}}\)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ x \in A}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{x} \in A}\).
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ x \in A}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{x} \in A}\).
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Udowodnij zawieranie
No nie tak mniejsza, bo to znaczy, że mylisz zawieranie z należeniem
Właściwym tematem byłoby np. "Zamkniętość zbioru na odwrotność".
Masz pokazać, że liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b \sqrt[3]{2}+c \sqrt[3]{4}}}\) jest postaci \(\displaystyle{ a'+b' \sqrt[3]{2}+c' \sqrt[3]{4}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,a',b',c'\in\QQ}\).
JK
Właściwym tematem byłoby np. "Zamkniętość zbioru na odwrotność".
Masz pokazać, że liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b \sqrt[3]{2}+c \sqrt[3]{4}}}\) jest postaci \(\displaystyle{ a'+b' \sqrt[3]{2}+c' \sqrt[3]{4}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,a',b',c'\in\QQ}\).
JK
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
Udowodnij zawieranie
A dlaczego tak nie zrobisz? I dlaczego ze wszystkich innych rzeczy od należenia wybrałeś akurat zawieranie?Dario1 pisze:No wiadomo, że chodzi o należenie, ale przecież nie napisze udowodnij "należenie".
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
Udowodnij zawieranie
Althorion- Bo to jakoś głupio brzmi. A czemu zawieranie? Zawieranie i należenie intuicyjnie są podobne. Może lepsze tu by było "przynależność"? Mniejsza z tym.
Medea2- A jak będzie wyglądać sprzężenie mianownika? Są pierwiastki \(\displaystyle{ 3}\) stopnia, gdyby były same to ok, ale jest jeszcze to \(\displaystyle{ a}\).
Medea2- A jak będzie wyglądać sprzężenie mianownika? Są pierwiastki \(\displaystyle{ 3}\) stopnia, gdyby były same to ok, ale jest jeszcze to \(\displaystyle{ a}\).
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Udowodnij zawieranie
Ale realnie bardzo różne... Z intuicjami w matematyce trzeba ostrożnie.Dario1 pisze:Zawieranie i należenie intuicyjnie są podobne.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Udowodnij zawieranie
A na dodatek takie stwierdzenia świadczą o dużym poziomie arogancji: ja napiszę byle co, a inni niech kombinują o co mi chodzi...Jan Kraszewski pisze:Ale realnie bardzo różne... Z intuicjami w matematyce trzeba ostrożnie.Dario1 pisze:Zawieranie i należenie intuicyjnie są podobne.
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Udowodnij zawieranie
Zamiast męczyć się z układami równań, można skorzystać z tożsamości \(\displaystyle{ p^{3}+q^{3}+r^{3}-3pqr= \frac{1}{2} (p+q+r)((p-q)^{2}+(q-r)^{2}+(r-p)^{2})}\), którą udowodniłeś, robiąc jakieś zadanie w dziale Przekształcenia algebraiczne.
Połóżmy \(\displaystyle{ p=a, q=b \sqrt[3]{2}, r= c\sqrt[3]{4}}\) i pomnóżmy licznik oraz mianownik przez
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}((p-q)^{2}+(q-r)^{2}+(r-p)^{2})}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 3abc \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}=6abc}\), to w ten sposób od razu załatwimy niewymierności w mianowniku.
Połóżmy \(\displaystyle{ p=a, q=b \sqrt[3]{2}, r= c\sqrt[3]{4}}\) i pomnóżmy licznik oraz mianownik przez
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}((p-q)^{2}+(q-r)^{2}+(r-p)^{2})}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 3abc \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}=6abc}\), to w ten sposób od razu załatwimy niewymierności w mianowniku.
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
Udowodnij zawieranie
Z tego co rozumiem a4karo to chodzi Ci o wymnożenie tego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b \sqrt[3]{2}+c \sqrt[3]{4}}=a'+b' \sqrt[3]{2}+c' \sqrt[3]{4}}\)
Po przyrównaniu dostałem następujący układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} aa'+2bc'+2b'c=1 \\ ab'+a'b+2cc'=0 \\ ac'+bb'+a'c=0 \end{cases}}\)
Dostaje dość skomplikowane rachunki.
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b \sqrt[3]{2}+c \sqrt[3]{4}}=a'+b' \sqrt[3]{2}+c' \sqrt[3]{4}}\)
Po przyrównaniu dostałem następujący układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} aa'+2bc'+2b'c=1 \\ ab'+a'b+2cc'=0 \\ ac'+bb'+a'c=0 \end{cases}}\)
Dostaje dość skomplikowane rachunki.
Ostatnio zmieniony 15 paź 2015, o 23:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Udowodnij zawieranie
A tam skomplikowane, układ trzech równań i zwykła eliminacja Gaussa ze względu na zmienne \(\displaystyle{ a',b',c'}\) powinna pomóc.
Aha, teza jest nieprawdziwa dla \(\displaystyle{ a=b=c=0}\), trzeba by dorzucić jakiś dodatkowy warunek w treści.
Jeśli chcesz wypróbować alternatywne podejście, to Ci podrzuciłem wyżej, chyba nie po to rozkładałeś w innym temacie tamtą sumę na czynniki, żeby sobie raz rozłożyć i zapomnieć o tej tożsamości, czasem się przydaje (a jak nie, to nie wiem, po co robić takie zadania jak tamto ).
-- 15 paź 2015, o 22:24 --
Założyłem, że dostałeś poprawny układ równań, ale nie sprawdzałem tego.
Aha, teza jest nieprawdziwa dla \(\displaystyle{ a=b=c=0}\), trzeba by dorzucić jakiś dodatkowy warunek w treści.
Jeśli chcesz wypróbować alternatywne podejście, to Ci podrzuciłem wyżej, chyba nie po to rozkładałeś w innym temacie tamtą sumę na czynniki, żeby sobie raz rozłożyć i zapomnieć o tej tożsamości, czasem się przydaje (a jak nie, to nie wiem, po co robić takie zadania jak tamto ).
-- 15 paź 2015, o 22:24 --
Założyłem, że dostałeś poprawny układ równań, ale nie sprawdzałem tego.
Ostatnio zmieniony 15 paź 2015, o 23:26 przez Premislav, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
Udowodnij zawieranie
Premislav zgadza się. Sprytne. Fakt, że to wcześniej udowodniłem jednak nie skojarzyłem tego od razu. Otrzymałem wartość:
\(\displaystyle{ \frac{2a ^{2}-4bc }{2a ^{3}+4b ^{3}+8c ^{3}-12abc }+\frac{4c ^{2}-2ab }{2a ^{3}+4b ^{3}+8c ^{3}-12abc } \sqrt[3]{2} +\frac{2b ^{2}-2ac }{2a ^{3}+4b ^{3}+8c ^{3}-12abc } \sqrt[3]{4}}\).
Trzeba chyba jednak dać zastrzeżenie, że \(\displaystyle{ {2a ^{3}+4b ^{3}+8c ^{3}-12abc } \neq 0}\), bo jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ a=b=c=0 \in Q}\), to okaże się odwrotność nie należy. Nawiasem mówiąc rozwiązując tamten układ równań metodą wyznacznikową dostałem identyczne wyniki. Trudniej było to zrobić metodą podstawieniową.
\(\displaystyle{ \frac{2a ^{2}-4bc }{2a ^{3}+4b ^{3}+8c ^{3}-12abc }+\frac{4c ^{2}-2ab }{2a ^{3}+4b ^{3}+8c ^{3}-12abc } \sqrt[3]{2} +\frac{2b ^{2}-2ac }{2a ^{3}+4b ^{3}+8c ^{3}-12abc } \sqrt[3]{4}}\).
Trzeba chyba jednak dać zastrzeżenie, że \(\displaystyle{ {2a ^{3}+4b ^{3}+8c ^{3}-12abc } \neq 0}\), bo jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ a=b=c=0 \in Q}\), to okaże się odwrotność nie należy. Nawiasem mówiąc rozwiązując tamten układ równań metodą wyznacznikową dostałem identyczne wyniki. Trudniej było to zrobić metodą podstawieniową.