Proszę o pomoc w następującym dowodzie:
Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ 2! \cdot 4! \cdot ... \cdot \left( 2n\right)!>\left( \left( n+1\right) !\right) ^{n}}\)
Nierówność zależna od n z silnią
Nierówność zależna od n z silnią
Ostatnio zmieniony 15 paź 2015, o 00:12 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Nierówność zależna od n z silnią
Może istnieje ładniejsze rozwiązanie, ale działa tu zwykła indukcja po \(\displaystyle{ n}\):
drugi krok indukcyjny można zrealizować w oparciu o szacowanie
\(\displaystyle{ (2n+2)! >(n+2)! (n+2)^{n}}\), które jest boleśnie oczywiste: po prostu iloczyn po lewej zmniejszymy, gdy wstawimy za iloczyn \(\displaystyle{ n}\) ostatnich wyrazów, tj. od \(\displaystyle{ n+3}\) do \(\displaystyle{ 2n+2}\) liczbę \(\displaystyle{ n+2}\) podniesioną do n-tej potęgi (bo wszystkie czynniki są dodatnie). Bardzo słaba teza.
drugi krok indukcyjny można zrealizować w oparciu o szacowanie
\(\displaystyle{ (2n+2)! >(n+2)! (n+2)^{n}}\), które jest boleśnie oczywiste: po prostu iloczyn po lewej zmniejszymy, gdy wstawimy za iloczyn \(\displaystyle{ n}\) ostatnich wyrazów, tj. od \(\displaystyle{ n+3}\) do \(\displaystyle{ 2n+2}\) liczbę \(\displaystyle{ n+2}\) podniesioną do n-tej potęgi (bo wszystkie czynniki są dodatnie). Bardzo słaba teza.