dowód nierówność / silnia

[rabbitvon]

Prosiłbym o pokazanie mi dowodu na:
\(\displaystyle{ \left( 2n\right)! < 2 ^{2n}\left( n!\right) ^{2} }}\)

Będę wdzięczny za pomoc

[Premislav]

394583.htm

[rabbitvon]

--edit-- poprawiony post bo napisałam wcześniej co innego niż chciałam, pomyliły mi się wzory

[Premislav]

Można indukcyjnie. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to prawdą. Następnie oznaczmy przez \(\displaystyle{ L_{k}}\) wartość lewej strony dla \(\displaystyle{ n=k \in \NN^{+}}\), zaś przez \(\displaystyle{ R_{k}}\) wartość prawej strony dla \(\displaystyle{ n=k\in \NN^{+}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{L_{k+1}}{L_{k}}=(2k+1)(2k+2)}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{R_{k+1}}{R_{k}}=4(k+1)^{2}> \frac{L_{k+1}}{L_{k}}}\). To pozwala na łatwą realizację drugiego kroku indukcyjnego.

[timon92]

\(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{(n!)^2} = {2n \choose n} < \sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k} = 2^{2n}}\)