Prosiłbym o pokazanie mi dowodu na:
\(\displaystyle{ \left( 2n\right)! < 2 ^{2n}\left( n!\right) ^{2} }}\)
Będę wdzięczny za pomoc
dowód nierówność / silnia
dowód nierówność / silnia
Ostatnio zmieniony 14 paź 2015, o 21:49 przez rabbitvon, łącznie zmieniany 2 razy.
dowód nierówność / silnia
--edit-- poprawiony post bo napisałam wcześniej co innego niż chciałam, pomyliły mi się wzory
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
dowód nierówność / silnia
Można indukcyjnie. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to prawdą. Następnie oznaczmy przez \(\displaystyle{ L_{k}}\) wartość lewej strony dla \(\displaystyle{ n=k \in \NN^{+}}\), zaś przez \(\displaystyle{ R_{k}}\) wartość prawej strony dla \(\displaystyle{ n=k\in \NN^{+}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{L_{k+1}}{L_{k}}=(2k+1)(2k+2)}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{R_{k+1}}{R_{k}}=4(k+1)^{2}> \frac{L_{k+1}}{L_{k}}}\). To pozwala na łatwą realizację drugiego kroku indukcyjnego.