Sprawdź czy liczba jest niewymierna

[Dario1]

Sprawdź czy liczba jest niewymierna:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{20-14 \sqrt{2} }+ \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} }}\)

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

Oznaczmy daną liczbę przez a:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{20-14 \sqrt{2} }+ \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} }=a}\)

Podnosząc do 3 potęgi i pierwiastkując 3 stopniem lewą stronę mamy:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\left( \sqrt[3]{20-14 \sqrt{2} }+ \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} }\right) ^{3}} =}\)
\(\displaystyle{ = \sqrt[3]{20-14 \sqrt{2}+3\left( \sqrt[3]{20-14 \sqrt{2} }\right) ^{2}\sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} }+3 \sqrt[3]{20-14 \sqrt{2} }\left( \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} }\right) ^{2}+20+14 \sqrt{2} } =}\)
\(\displaystyle{ = \sqrt[3]{40+3 \sqrt[3]{400-392}\left(\sqrt[3]{20-14 \sqrt{2} }+ \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} } \right) }=}\)
\(\displaystyle{ = \sqrt[3]{40+6\left( \sqrt[3]{20-14 \sqrt{2} }+ \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} }\right) }=}\)
\(\displaystyle{ = \sqrt[3]{40+6a}=a}\)
Czyli dostajemy równanie trzeciego stopnia z jedną niewiadomą:
\(\displaystyle{ a ^{3}-6a-40=0}\)
Jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(\displaystyle{ a=4}\) i tyle wynosi szukana liczba wymierna.

Pytanie czy możnaby zrobić to zadanie inaczej na przykład wyliczając je normalnie, bez podstawień?

[Premislav]

Nie chce mi się sprawdzać przekształceń, bo zaraz będę jadł.

Ale wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ 20-14\sqrt{2}=(2-\sqrt{2})^{3}}\) oraz \(\displaystyle{ 20+14\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})^{3}}\)

[Dario1]

No zgadza się, ale chyba ciężko to zauważyć. Jak to można zauważyć?

[Premislav]

Ja na to patrzyłem tak: rozpisywanie tego to lekka katorga, więc może nie bez powodu dano takie liczby. Pięknie byłoby, gdyby liczba pod jednym pierwiastkiem była postaci \(\displaystyle{ (a-b\sqrt{2})^{3}}\), a druga postaci \(\displaystyle{ (a+b\sqrt{2})^{3}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b}\) wymiernych. No i \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) muszą być stosunkowo małe co do modułu, bo we wzorze z sześcianem sumy/różnicy mamy te trójki. Chwila szukania i wychodzi. można tez sobie napisać układ równań na \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), ale to zabija zwięzłość rozwiązania.

[Dario1]

No tak rozumiem, jednak pytanie pozostaje czy zgadłeś te liczby i zobaczyłeś, że pasują czy wyliczyłeś bo wydaje mi się, że zgadłeś? (układ równań nie wygląda tu ładnie).

[Premislav]

Zgadłem. Czasem lepiej się trochę naliczyć, bo nie zawsze da się zgadnąć.

[Dario1]

Tak, ale licząc układ równań:

\(\displaystyle{ a ^{3}+3ab ^{2} =20}\)
\(\displaystyle{ -3a ^{2}b-b ^{3}=-14 \sqrt{2}}\)

Dostałem wielomian dziewiątego stopnia i żmudne rachunki. Faktycznie wyszło \(\displaystyle{ a=2}\) i \(\displaystyle{ b= \sqrt{2}}\), ale liczenia było sporo. Chyba lepiej rozpisać tak jak ja zrobiłem lub zgadnąć.

[a4karo]

W takich przypadkach dobrze jest spróbowac znależć całkowite \(\displaystyle{ a,b}\) takie, że \(\displaystyle{ (a+b\sqrt{2})^3=20+14\sqrt{2}}\)

To daje układ równań: \(\displaystyle{ a(a^2+6b^2)=20, b(3a^2+2b^2)=14}\)
Z pierwszego równania wynika, że \(\displaystyle{ b=\pm 1}\) i stad już łatwo \(\displaystyle{ a=2}\)

[Dario1]

Skąd wiadomo, że z pierwszego równania wynika, że \(\displaystyle{ b=1}\)?

[a4karo]

bo inaczej byloby co najmnie 24, nieprawdaż?

[Dario1]

No tak, ale to przypomina analizę rodem z równań diofantycznych. Można i tak, ale to chyba nie jest zbyt uniwersalne. Poza tym trzeba by zrobić dodatkowe założenia, że \(\displaystyle{ a,b \in N}\) i \(\displaystyle{ a,b \neq 0}\). Wtedy możnaby napisać, że \(\displaystyle{ a ^{3}=20-6ab ^{2}}\). Wtedy rzeczywiście okazuje się, że \(\displaystyle{ 0<b<2}\), czyli \(\displaystyle{ b=1}\). Można by też \(\displaystyle{ 6ab ^{2}=20-a ^{3}}\). Wtedy prawa strona musiałaby być podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\). Wtedy tylko \(\displaystyle{ a=2}\).

Zgadza się? A może jeszcze jakaś inna analiza tego byłaby lepsza?

[a4karo]

Sądzę, że jest nadużyciem nazywanie elementarnego rozumowania "analizą rodem z równań diofantycznych"

Poza tym trzeba by zrobić dodatkowe założenia, że \(\displaystyle{ a,b \in \NN}\) i \(\displaystyle{ a,b \neq 0}\).

te założenia są zbędne (założyłem całkowitość i to wystarczy) - dodatniość \(\displaystyle{ a}\) wnioskujesz z pierwszego równania, a \(\displaystyle{ b}\) z drugiego.

[Dario1]

Sądzę, że jest nadużyciem nazywanie elementarnego rozumowania "analizą rodem z równań diofantycznych"

No ale trochę to tak wygląda.

Sam napisałeś, że \(\displaystyle{ b= \pm 1}\), zatem tej dodatniości tu nie było. Trzeba to wszystko przeanalizować, podejrzewam, że w innych zadaniach tego typu mogłoby być to niełatwe.

[bosa_Nike]

Pytanie czy możnaby zrobić to zadanie inaczej na przykład wyliczając je normalnie, bez podstawień?

Można i tak, ale to chyba nie jest zbyt uniwersalne.

Trzeba to wszystko przeanalizować, podejrzewam, że w innych zadaniach tego typu mogłoby być to niełatwe.

Nie zatraciłeś gdzieś sensu w tzw. międzyczasie?

[a4karo]

Sądzę, że jest nadużyciem nazywanie elementarnego rozumowania "analizą rodem z równań diofantycznych"

No ale trochę to tak wygląda.

Sam napisałeś, że \(\displaystyle{ b= \pm 1}\), zatem tej dodatniości tu nie było. Trzeba to wszystko przeanalizować, podejrzewam, że w innych zadaniach tego typu mogłoby być to niełatwe.

Oj, wydaje mi sie, że szuaksz uniwersalnej metody do rozwiązania wszystkich zadań tego typu. Obawiam się, że na próżno.

Napisałem \(\displaystyle{ b=\pm 1}\), bo tak wynika, gdy spojrzy sie tylko na pierwsze równanie. Z drugiego natomiast widać, że \(\displaystyle{ b}\) musi byc dodatnie.