Udowodnij, że jeśli p jest liczbą pierwszą...

[shintero]

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to:

\(\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (p-1)+1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ p}\).

Prosiłbym o pomoc jak to "ładnie" udowodnić. Próbowałem tak, że każda reszta modulo p posiada "resztę odwrotną" i te reszty + reszty odwrotne się dodadzą i wyjdzie coś podzielne przez p, ale nie wiem co dalej. Z góry dzięki.

[Premislav]

Dobrze myślisz. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą i \(\displaystyle{ m\in\left\{ 1,...p-1\right\}}\). Wtedy istnieje takie \(\displaystyle{ n\in\left\{ 1,...p-1\right\}}\), że \(\displaystyle{ m\cdot n\equiv1\pmod{p}}\). Zarys dowodu: ustalmy dowolne \(\displaystyle{ m \in\left\{ 1,...p-1\right\}}\). Spróbuj pokazać, że liczby \(\displaystyle{ m\cdot 1,...m\cdot(p-1)}\) dają różne parami reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ p}\) (coby było, gdyby dla pewnych \(\displaystyle{ q,r \in\left\{ 1,...p-1\right\}}\) było \(\displaystyle{ qm\equiv rm\pmod{p}}\)?). A skoro tak, to dają \(\displaystyle{ p-1}\) różnych parami reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ p}\), a więc...
Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ p-1}\) sa liczbami odwrotnymi do samych siebie względem mnożenia modulo \(\displaystyle{ p}\) (tj. ich kwadraty dają resztę jeden z dzielenia przez \(\displaystyle{ p}\)).-- 13 paź 2015, o 20:21 --Pozwoli to rozstrzygnąć, jaką resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ p}\) daje ten iloczyn.

[Medea 2]

Istnieje rozwiązanie korzystające z teorii grup: opiera się na twierdzeniach Sylowa i grupie \(\displaystyle{ S_p}\).

[leg14]

Dodam, ze jest to tak zwane tw. Wilsona- bardzo klarowny dowod masz na wikipedii.