Udowodnij niewymierność:
\(\displaystyle{ \log _{2} 7}\)
Proszę o sprawdzenie poniższego dowodu:
Założmy niewprost, że ta liczba jest wymierna to znaczy istnieje ułamek nieskracalny \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) taki, że
\(\displaystyle{ \log _{2} 7=\frac{p}{q}}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ q\log _{2} 7=p}\)
\(\displaystyle{ \log _{2} 7 ^{q} =p}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{p}=7 ^{q}}\)
i teraz widzimy, że po lewej stronie mamy iloczyn dwójek, a po prawej iloczyn siódemek, są to liczby pierwsze, zatem ta równość zachodzi nie może czyli ta liczba jest niewymierna.
Jeśli można było to zadanie zrobić prościej/lepiej to proszę o komentarz.
