Udowodnij niewymierność

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Udowodnij niewymierność

Post autor: Dario1 »

Udowodnij niewymierność liczby:

\(\displaystyle{ \sqrt{5}+ \sqrt{7}}\)

Proszę o sprawdzenie poniższego dowodu:

Załóżmy niewprost, że dana liczba należy do wymiernych i zapiszmy ją jako:\(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\)
,gdzie p i g całkowite liczby względnie pierwsze, to znaczy ułamek \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jest nieskracalny.
Po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 5+2 \sqrt{35}+7= \frac{p ^{2} }{q ^{2} }}\)
Po drobnym przekształceniu:
\(\displaystyle{ \sqrt{35}= \frac{p ^{2}-12q ^{2} }{2}}\)

Teraz widzimy, że zgodnie z założeniem prawa strona jest wymierna bowiem, wszelkie działania są weń wewnętrzne. Potęgowanie,mnożenie,odejmowanie,dzielenie przez liczbę różną od zera liczb całkowitych daje liczbę wymierną. Zatem zapiszmy teraz prawą stronę jako nieskracalny ułamek:
\(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\), gdzie m i n liczby całkowite względnie pierwsze.

Wobec tego mamy:
\(\displaystyle{ 35= \frac{m ^{2} }{n ^{2} }}\) czyli
\(\displaystyle{ 35n ^{2}=m ^{2}}\), zatem \(\displaystyle{ m ^{2}}\) jest podzielne przez 35 czyli \(\displaystyle{ m}\) jest podzielne przez 35. Ale wtedy \(\displaystyle{ n ^{2}}\) jest podzielne przez 35 czyli \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 35}\) co przeczy temu, że ułamek \(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\) jest nieskracalny.
Zatem pierwiastek z 35 jest liczbą niewymierną co prowadzi do tego, że \(\displaystyle{ \frac{p ^{2} }{q ^{2} }}\) jest niewymierne i stąd też \(\displaystyle{ \frac{p}{q} \notin Q}\) bowiem gdyby \(\displaystyle{ \frac{p}{q} \in Q}\) to \(\displaystyle{ \frac{p ^{2} }{q ^{2} } \in Q}\) bowiem potęgowanie jest wewnętrze w zbiorze liczb wymiernych. Zatem \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jest niewymierne.

Zgadza się? Jeśli popełniłem jakiś błąd w rozumowaniu bądź można było to zadanie zrobić szybciej/prościej proszę o komentarz.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Udowodnij niewymierność

Post autor: SlotaWoj »

Czegoś mi brak!

Przed
Dario pisze:Ale wtedy \(\displaystyle{ n^2}\) ...
Wstawiłbym to:
  • Jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 35}\), to istnieje \(\displaystyle{ k}\) całkowite i względnie pierwsze z \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ m=35k}\). Wówczas:
    • \(\displaystyle{ n^2=35k^2}\)
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Udowodnij niewymierność

Post autor: Dario1 »

No rozumiem, jednak dlaczego założenie dla k, że jest względnie pierwsze z n? Wystarcza chyba względna pierwszość m i n.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Udowodnij niewymierność

Post autor: SlotaWoj »

Bo wtedy założenia dla \(\displaystyle{ 35=\frac{m^2}{n^2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{35}=\frac{k^2}{n^2}}\) są takie same, a względna pierwszość \(\displaystyle{ k}\) z \(\displaystyle{ n}\) i tak wynika ze względnej pierwszości \(\displaystyle{ m}\) z \(\displaystyle{ n}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Udowodnij niewymierność

Post autor: Premislav »

Dario1 pisze:Po drobnym przekształceniu:
\(\displaystyle{ \sqrt{35}= \frac{p ^{2}-12q ^{2} }{2}}\)
Drobne przekształcenie mi się nie podoba. Jak doszedłeś do tej formy od równości
\(\displaystyle{ 5+2 \sqrt{35}+7= \frac{p ^{2} }{q ^{2} }}\)?


BTW \(\displaystyle{ \sqrt{5}+\sqrt{7}}\) jest pierwiastkiem takiego wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-\sqrt{5}-\sqrt{7})(x+\sqrt{5}+\sqrt{7})(x^{2}-12+2\sqrt{35})}\)
Jeśli się nie pomyliłem w konstrukcji, to wielomian ten ma współczynniki całkowite.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Udowodnij niewymierność

Post autor: SlotaWoj »

Premislav zauważył to, co ja przeoczyłem.

Efekt tego „drobnego” przekształcenia powinien być następujący:
  • \(\displaystyle{ \sqrt{35}=\frac{p^2}{2q^2}-6}\)
i dalej wszystko jest OK bo prawa strona jest wymierna.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Udowodnij niewymierność

Post autor: Dario1 »

Zgadza się jest błąd powinno być tak jak już mój poprzednik napisał:
\(\displaystyle{ \sqrt{35}= \frac{p ^{2}-12q ^{2} }{2q ^{2} }}\)

Premislav pierwsze pytanie jak doszedłeś do tego wielomianu? Po drugie jak ma on pomóc w zadaniu?
Wydaje mi się, że może w ten sposób, że skoro wielomian ma współczynniki całkowite, a żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem co łatwo sprawdzić zatem jego miejsca zerowe są niewymierne. W ten sposób czy inaczej?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Udowodnij niewymierność

Post autor: Premislav »

Pierwsze pytanie: użyłem dwukrotnie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów - bo gdy sobie zacząłem pisać taki wielomian, to stwierdziłem, że z tw. Bezouta będzie podzielny przez \(\displaystyle{ x-\sqrt{5}-\sqrt{7}}\), no to sytuacja się uprości, gdy pomnożymy przez\(\displaystyle{ x+\sqrt{5}+\sqrt{7}}\) (będzie jeden pierwiastek z brzydkiej liczby zamiast dwóch). No i do iloczynu tych wielomianów pierwszego stopnia zastosowałem ponownie ten sam pomysł (wzór na róznicę kwadratów - miałęm coś w stylu \(\displaystyle{ x^{2}+bx-2\sqrt{35}}\) dla \(\displaystyle{ b}\) całkowitego, to wystarczyło pomnożyć przez \(\displaystyle{ x^{2}+bx+2\sqrt{35}}\)).
Drugie pytanie: dobrze rozumiesz, dokładnie tak ma to pomóc.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Udowodnij niewymierność

Post autor: Dario1 »

No tak zgadza się wiem już skąd ten wielomian. Sprytne trzeba przyznać.
ODPOWIEDZ