Przedstawienie jedynki

[mint18]

Czy istnieją parami różne liczby naturalne \(\displaystyle{ n_{1}, n_{2},..., n_{2005}}\), że \(\displaystyle{ 1= \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}+...+ \frac{1}{n_{2005}}}\)?

[Medea 2]

Tak. Niech \(\displaystyle{ n_1 = 2}\). Dla \(\displaystyle{ 2004 \ge k \ge 2}\) określamy

\(\displaystyle{ n_k = 1 + \left[ \sum_{i = 1}^{k-1} \frac{1}{n_i} \right]^{-1}}\).

[kerajs]

\(\displaystyle{ n _{1}=2 \\ n _{2}=3 \\ n _{3}=1+\left[ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} \right] ^{-1}=1+ \frac{6}{5} \not\in \NN}\)

Przykładowy zestaw liczb spełniający treść zadania:
\(\displaystyle{ n _{k}=2 ^{k }}\) dla \(\displaystyle{ k \in \left\{ 1,2,....., 2003\right\}}\)
\(\displaystyle{ n _{2004}=3 \cdot 2 ^{2003 } \\ n _{2005}=3 \cdot 2 ^{2002 }}\)

[Medea 2]

Przy przepisywaniu zjadłam jedynkę...

\(\displaystyle{ n_k = 1 + \left[{\color{blue} 1 - } \sum_{i = 1}^{k-1} \frac{1}{n_i} \right]^{-1}}\)

Jest to zachłanne przedstawienie jedynki metodą starożytnych (chodzi o ułamki egipskie).

[mint18]

Ok dzięki chociaż już sobie z tym poradziłem, nie wiem dlaczego od razu nie skojarzyłem tego z równością \(\displaystyle{ 1= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}\).